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Dreidimensionale wirbelgefaserte Räume. (German) JFM 62.0663.01

Ein wirbelgefaserter Raum \(F\) entsteht aus einem berandeten gefaserten Raum (vgl. Seifert, Acta math., Uppsala, 60 (1933), 147-238; JFM 59.1241.*-1245), indem man auf jeder der endlich vielen orientierbaren Ringflächen, die den Rand des Raumes bilden, eine endliche Anzahl von aus Fasern bestehenden Kreisringen oder auch die ganze Randfläche auszeichnet und jede der Fasern, die der ausgezeichneten Menge angehören, durch einen Punkt ersetzt. Die ausgezeichneten Stücke der Randfläche gehen dabei in gewisse Kurvenstücke oder geschlossene Kurven über, die Wirbelstücke bzw. Wirbellinien. Je nachdem, ob alle Randflächen ganz zur ausgezeichneten Menge gehören oder nicht, ist F geschlossen oder berandet. Die Bestimmung eines Invariantensystems der wirbelgefaserten Räume gegenüber fasertreuen topologischen Abbildungen wird mit denselben Methoden wie bei Seifert durchgeführt (a. a. O; für die Bezeichnungen vgl. das Referat über diese Arbeit). Hinzu kommt hier die “Markierung” derjenigen Teile der Randkurven der bewerteten Zerlegungsfläche, die den ausgezeichneten Mengen entsprechen. Jedoch gestaltet sich die Untersuchung hier wesentlich einfacher: Während im Falle der wirbelfreien Faserungen die verschiedenen Möglichkeiten, den von einer einzigen Ringfläche berandeten “Klassenraum” durch einen ”Verschlußring” zu schließen, nicht leicht zu übersehen sind, fällt gerade diese Schwierigkeit weg, weil hier eine Wirbellinie die Rolle des Verschlußringes übernimmt. Das Hauptergebnis ist: Ein wirbelgefaserter Raum ist im wesentlichen durch seine bewertete Zerlegungsfläche mit Angabe der Ausnahmepunkte und der Invarianten der zugehörigen Ausnahmefasern sowie der Markierung auf den Randkurven bestimmt. (Für die genaue Formulierung vgl. § 6 der Arbeit.)
Aus der großen Sammlung von Beispielen seien hier diejenigen genannt, die für den Aufbau der geschlossenen wirbelgefaserten Räume wichtig sind: (1) Die wirbelgefaserten Linsenräume: Zerlegungsfläche ist eine Kreisscheibe mit einem Ausnahmepunkt, Faserinvarianten \(\mu \neq 1\), \(\nu\), markiert ist der ganze Rand. (\(\mu=1\) liefert eine wirbelgefaserte dreidimensionale Sphäre.) (2) Topologisches Produkt von Kreis und Kugel, mit zwei Wirbellinien gefasert: Zerlegungsfläche ist ein Kreisring, keine Ausnahmepunkte, beide Ränder ganz markiert. (3) Dasselbe Produkt, mit einer Wirbellinie gefasert: Zerlegungsfläche ist die gelochte projektive Ebene, in der die nicht zerlegende geschlossene Kurve mit \(-1\) bewertet ist; Markierung der ganzen Randkurve. (4) Dreidimensionales Analogon des Kleinschen Schlauches: dieselbe Zerlegungsfläche und Markierung wie bei (3), aber mit Bewertung \(+1\).
Jeder geschlossene wirb elgefäserte Raum läßt sich, wie man durch geeignete Zerschneidung seiner Zerlegungsfläche erkennt, als “Summe” von Räumen der Typen (1) bis (4) aufbauen; eine genauere Beschreibung des Aufbaus ergibt sich aus der Struktur der Zerlegungsfläche. Die “Summe” zweier Räume \(R_1\), \(R_2\) ist dabei, wenn man auf die Faserung keine Rücksicht nimmt, so zu bilden, daß man aus \(R_1\), \(R_2\) je eine Vollkugel ausbohrt und die beiden Räume längs der Ränder aneinander heftet (im Falle der Orientierbarkeit mit kohärenter Orientierung); will man die Faserung berücksichtigen, so hat man wirbelgefaserte Vollkugeln aus der Umgebung eines Wirbellinienstückes auszubohren und die Ränder fasertreu zu identifizieren. Bei Summenbildung entsteht als Fundamentalgruppe das freie Produkt der Fundamentalgruppen der Summanden, und die Fundamentalgruppen der Räume (1) bis (4) kennt man: es ergeben sich freie Produkte von endlich vielen zyklischen Gruppen teils endlicher, teils unendlicher Ordnung. Speziell folgt daraus: Der einzige wirbelgefaserte geschlossene Raum, dessen erste Homologiegruppe nur aus dem Nullelement besteht, ist die dreidimensionale Sphäre, und diese läßt sich nur auf eine Weise wirbelfasern (dagegen können Poincarésche Räume wirbelfrei gefasert werden).
Man kommt zu keinen wesentlichen neuen Ergebnissen, wenn man für den berandeten gefaserten Raum, von dem die Konstruktion der wirbelgefaserten Räume ausgeht, auch nichtorientierbare Ringflächen als Randflächen zuläßt.

Citations:

JFM 59.1241.*
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