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The connectivity ring of an abstract space. (English) JFM 62.0673.01
Im wesentlichen dieselbe Theorie, die den Inhalt der beiden soeben besprochenen Arbeiten von Kolmogoroff (zitiert als K. I und K. II) bildet, wurde gleichzeitig auch vom Verf. entwickelt; sie ist der Gegenstand der vorliegenden Arbeit. Auch hier wird ein algebraischer Komplex konsequent als Funktion der Zellen aufgefaßt, und in der -sehr eleganten – Darstellung tritt die Analogie mit dem Kalkül der Differentialformen und ihrer äußeren Ableitungen -man vergleiche die hierauf bezügliche Bemerkung im Referat über K. I -besonders klar zutage (so hatte denn auch der Vortrag, in dem der Verf. seine neue Theorie der Topologischen Konferenz in Moskau, Sept. 1935, mitteilte, den Titel “On the ring of a complex and the combinatory theory of integration”). Um im folgenden die Übereinstimmung mit der Kolmogoroffschen Theorie der \(o\)-Zyklen zu erkennen, hat man immer die Begriffe “Ableitung” und “exakte Funktion” mit “\(o\)-Rand” und “\(o\)-Zyklus” gleichzusetzen. Die Theorie bezieht sich auf sehr allgemeine “symbolische Komplexe” und “symbolische Räume”, die in gewissem Sinne die üblichen topologischen Räume als Spezialfälle enthalten; ich beschränke mich im folgenden aber auf gewöhnliche Komplexe \(K\). Der Koeffizientenbereich ist ein beliebiger Ring \(R\).
Die Eckpunkte von \(K\) werden mit \(x_i\) bezeichnet. Eine “\(m\)-Funktion” ist eine Funktion \(\varphi(x_0, x_1,\ldots, x_m)\), welche alterniert, also bei Vertauschung zweier \(x\) ihr Vorzeichen wechselt; sie sei definiert für alle \((m+1)\)-Tupel von Eckpunkten, wobei es aber nur auf ihre Werte in denjenigen \((m+1)\)-Tupeln ankommt, welche \(m\)-dimensionale Simplexe von \(K\) aufspannen, so daß man sie sonst immer gleich 0 setzen kann; ihre Werte sind Elemente von \(R\). Definition der “Ableitung”: \[ \varphi'(x_0,\ldots,x_{m+1})= \sum_{i=0}^{m+1}(-1)^i\varphi(x_0,\ldots,\hat x_i,\ldots,x_{m+1}), \] wobei das Symbol \(\hat x_i\) die Abwesenheit der Variabeln \(x_i\) bezeichnet; die Ableitung \(\varphi'\) einer \(m\)-Funktion \(\varphi\) ist also eine \((m+1)\)-Funktion. Definition der “exakten Funktion”: \(\varphi\) ist exakt, wenn \(\varphi' = 0\) ist. Satz: \(\varphi''=0\) für jede \(m\)-Funktion \(\varphi\). Korollar: Jede Ableitung ist exakt. – Nun wird für einige Zeit eine feste Reihenfolge \(\alpha\) der Eckpunkte zugrundegelegt. Definition des Produktes einer \(m\)-Funktion \(\varphi\) und einer \(n\)-Funktion \(\psi\): \[ [\varphi\psi] (x_0,\ldots,x_{m+n})=\varphi(x_0,\ldots,x_m) \psi(x_m,\ldots,x_{m+n}), \] wobei die Argumente immer in der durch \(\alpha\) gegebenen Ordnung zu stehen haben. Das Produkt \([\varphi\psi]\) ist also eine \((m+n)\)-Funktion; es hängt von \(\alpha\) ab; es ist assoziativ und zusammen mit der gewöhnlichen Addition distributiv. Satz: \[ [\varphi\psi]'=[\varphi'\psi]+(-1)^m[\varphi\psi']. \] Korollare: Sind \(\varphi\) und \(\psi\) exakt, so auch \([\varphi\psi]\); ist von den Faktoren einer exakt, der andere eine Ableitung, so ist auch das Produkt eine Ableitung. Die exakten Funktionen bilden bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe, die Ableitungen auf Grund eines oben ausgesprochenen Korollars eine Untergruppe von ihr; die zugehörige Restklassengruppe heißt, bei festem \(m\), die “\(m\)-te Zusammenhangsgruppe” von \(K\). Aus den obigen Tatsachen ergibt sich: Die Multiplikation der exakten Funktionen überträgt sich auf die Restklassen, also die Elemente der Zusammenhangsgruppen; und für die Produktbildung der Restklassen (im Gegensatz zu den einzelnen exakten Funktionen) gilt: das Ergebnis ist unabhängig von der zugrundegelegten Reihenfolge \(\alpha\) der Eckpunkte. Damit sind die Restklassen der verschiedenen Dimensionszahlen zu dem “Zusammenhangsring” von \(K\) verschmolzen.
In der Einleitung wird angedeutet, daß die gewöhnlichen Bettischen Gruppen im Rahmen der Pontrjaginschen Begriffsbildungen als die Charakterengruppen der hier eingeführten Zusammenhangsgruppen auftreten; man vergleiche den “Reziprozitätssatz” in K. I.
Verf. hat bereits etwas früher in zwei kurzen Noten (On the chains of a complex and their duals, On the ring of a compact metric space; Proc. nat. Acad. Sci. USA 21 (1935), 509-511, 511-512; F. d. M. \(61_{\text{II}}\)) eine ähnliche, jedoch nicht ganz gleichwertige Theorie skizziert; der wesentliche Vorzug der endgültigen Theorie gegenüber sowohl dieser früheren als auch der Kolmogoroffschen besteht in dem Wegfallen des numerischen Faktors an dem Produkt (vgl. K. II), und dies wird ermöglicht durch die (vorübergehende) Auszeichnung einer Reihenfolge der Eckpunkte; diese Idee stammt von Čech (man vgl. das folgende Referat) und Whitney.

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