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The net of quadric surfaces associated with a pair of Möbius tetrads. (English) JFM 62.0744.02
Es wird das Bündel der Flächen zweiter Ordnung durch die \(2 \cdot 4\) Eckpunkte eines Paares Möbiusscher Tetraeder behandelt. (I) Bei der Abbildung dieser Flächen auf die Punkte einer Ebene zerfällt die Kurve vierter Ordnung, die (nach Hesse) Ort der Bildpunkte der im Bündel enthaltenen Kegel ist, in ein Paar von Kegelschnitten. Die im Bündel enthaltenen Kegel bilden also zwei Familien. Ort ihrer Scheitel sind die beiden gemeinsamen Treffgeraden \(e\), \(f\) der vier Verbindungslinien entsprechender Punkte und der vier Schnittgeraden entsprechender Ebenen der beiden Tetraeder. Der Ort der Scheitel aller Kegel des Bündels, im allgemeinen Falle eine irreduzible Kurve sechster Ordnung, zerfällt hier in die Geraden \(e\), \(f\) und die Schnittgeraden entsprechender Ebenen der beiden Tetraeder. Die Kegel einer Familie umhüllen eine Plückersche Komplexfläche. (Plückersche Komplexflächen treten demnach immer paarweise auf.) Jede Familie enthält die vier Ebenenpaare des Bündels. Sie entsprechen in der Abbildung den Schnittpunkten der beiden ausgezeichneten Kegelschnitte. Die Punkte eines beliebigen anderen durch diese Schnittpunkte laufenden Kegelschnittes liefern Flächen zweiter Ordnung, die eine Kummersche Fläche einhüllen. (II) Das hier untersuchte spezielle Flächenbündel kann aus einem allgemeinen Bündel von \(M_3^2\) des \(R_4\) durch Schnitt mit einem \(R_3\) besonderer Lage gewonnen werden (Edge, Acta math., Uppsala, 64 (1935), 185-242; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 698). Dabei ergibt sich eine kanonische Darstellung für das Flächenbündel. (III) Mit der Figur der beiden Möbiusschen Tetraeder sind vier paarweise vertauschbare Nullsysteme verbunden, die zu je dreien zusammengesetzt vier Polarsysteme ergeben. Das Produkt der vier Polarsysteme (oder Nullsysteme) ist die windschiefe Involution mit den Achsen \(e\), \(f\). Es wird der Einfluß aller dieser Transformationen auf die Flächen des Bündels untersucht. (IV) Durch Nullsetzen einer Konstante in den Gleichungen des bisher behandelten Bündels entsteht als Ausartung ein Bündel, dessen Basis aus einer Geraden \(g\) und vier Punkten besteht. Bei der Abbildung dieses Bündels werden die Kegel des Bündels auf die Punkte eines doppeltzählenden Kegelschnittes abgebildet. Die Kegel umhüllen eine Fläche vierter Ordnung, den Ort der kubischen Raumkurven durch die vier vorgegebenen Punkte, welche \(g\) berühren. Diese Fläche kann als Plückersche Komplexfläche einer Geraden aufgefaßt werden, die dem betrachteten quadratischen Komplex selbst angehört. Sie erscheint auch als Singularitätenfläche eines quadratischen Komplexes von der Charakteristik [3111]. (V 5 D.)

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