Zur algebraischen Geometrie. IX: Über zugeordnete Formen und algebraische Systeme von algebraischen Mannigfaltigkeiten. (German) JFM 62.0772.02

Chow, W.-L.; van der Waerden, B. L.

Math. Ann. 113, 692-704 (1936).

Die Arbeit zerfällt in zwei Teile: Im ersten wird die “zugeordnete” Form einer algebraischen Mannigfaltigkeit \(M\) definiert, und umgekehrt werden die Bedingungen angegeben, denen eine Form \(F(u^{(0)}, u^{(1)},\ldots, u^{(r)})\) vom Grade \(g\) zu genügen hat, damit sie die zugeordnete Form einer \(r\)-dimensionalen algebraischen Mannigfaltigkeit darstellt. Daraus folgt dann, daß die Gesamtheit aller Mannigfaltigkeiten \(M\) vom Grade \(g\) und von der Dimension \(r\) im Koordinatenraum eine algebraische Mannigfaltigkeit bilden.
Sei zunächst \(M\) irreduzibel und \(K\) ein gegebener Grundkörper. \(M\) kann im \(n\)-dimensionalen projektiven Raum \(S_n(x_0:x_1: \ldots: x_n)\) durch Formen \(f_\mu\) aus \(K[x]\) definiert werden. Ein allgemeiner linearer \(S_{n-r}\), der durch \(r\) allgemeine Linearformen \[ l_i= \sum_{j=0}^nu_j^{(i)}x_j \quad (i =1,2,\ldots, r) \] definiert sein möge, schneidet \(M\) in \(g\) Punkten \[ p^{(i)} = (p_0^{(i)}, p_1^{(i)}, \ldots, p_n^{(i)}). \]
Bildet man dann mit \(n+1\) Unbestimmten \(u_0^{(0)},u_1^{(0)},\ldots,u_n^{(0)}\) die \(g\) Linearformen \(\sum\limits_jp_j^{(i)}u_j^{(0)}\), so ist deren Produkt (bei einem vollkommenen Grundkörper \(K\)) \(F(u^{(0)}, u^{(1)}, \ldots, u^{(r)})\) die “zugeordnete” Form von \(M\). Bei reduzibler Mannigfaltigkeit \(M\) wird \(F\) das Produkt der den irreduziblen Bestandteilen von \(M\) zugeordneten Formen. Satz 1 gibt dann drei notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß ein \(F(u^{(0)}, u^{(1)}, \ldots, u^{(r)})\) zugeordnete Form einer \(M\) sei; Satz 2 zeigt, daß sich diese Bedingungen durch ein System von homogenen Gleichungen zwischen den Koeffizienten von \(F\) ausdrücken lassen (hier muß es auf S. 698 in Z. 4 v. o. “lineare Gleichung” statt “linearen Gleichungssystems” heißen). Satz 3 gibt das Mittel zur Hand, wie man von \(F(u)\) zu den die Mannigfaltigkeit \(M\) definierenden Gleichungen \(f_\mu(x)=0\) zurückgelangen kann: man stellt jeden \(S_{n-1}(u^k)\) als Verbindungsraum des Punktes \(x\) mit einem willkürlichen \(S_{n-2}(s_{jl}^{(k)})\) dar und setzt \(F\) dann identisch in allen \(s_{jl}^{(k)}\) null.
Man schreibe die soeben genannten Gleichungen \(f_\mu(x) = 0\) in der Gestalt \[ f_\mu(a_\lambda,x_j) = 0, \] wo die \(a_\lambda\) die Koeffizienten der zugeordneten Form \(F(u)\) von \(M\) sind. Diese Gleichungen bringen jetzt eine algebraische Korrespondenz zum Ausdruck zwischen den Punkten \(x\) und den “Punkten” \(a\) mit Koordinaten \(a_\lambda\) in einem Bildraum \(\mathfrak B\), und diese Korrespondenz \(\mathfrak K\) überträgt sich auf algebraische Systeme von Mannigfaltigkeiten \(M\).
Im zweiten Teile der Arbeit werden für einen vollkommenen Grundkörper \(K\) und einige einschränkende Voraussetzungen über die Korrespondenz \(\mathfrak K\) zwei Theoreme bewiesen und am Schlüsse durch ein Beispiel erläutert.

Reviewer: Weitzenböck, R., Prof. (Laren)

JFM Section:

Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 5. Algebraische Geometrie. E. Algebraische Flächen und mehrdimensionale Gebilde.