×

Superficie algebriche e varietà a tre dimensioni a curve sezioni canoniche. (Italian) JFM 62.0779.05

Für jedes \(p\geqq 3\) existieren bekanntlich im \(R_p\) algebraische Flächen \(F^{2p-2}\) der Ordnung \(2p - 2\), deren Hyperebenenschnitte kanonische Kurven vom Geschlecht \(p\) sind; sie hängen von 19 Moduln ab. Sucht man entsprechend die \(V_3^{2p-2}\) im \(R_{p+1}\), deren Hyperebenenschnitte lauter solche \(F^{2p-2}\) sind, so zeigt sich, daß diese nur für \(p \leqq 37\) existieren und für \(p \geqq 14\) sowie \(p = 11\), 12 sicher rationale Mannigfaltigkeiten sind; da für \(p = 3\), 4 ihre Irrationalität feststeht, bleibt die Frage der Rationalität nur für \(5 \leqq p \leqq 10\), \(p = 13\) zu lösen. Die \(F^4\) des \(R_3\) bilden nicht, wie man erwarten könnte, das umfassendste Linearsystem von Flächen des \(R_3\), deren Geschlechter alle l sind; es gibt vielmehr zwei wesentlich verschiedene andre solche Linearsysteme von \(F^6\) mit der Dimension 38. Schließlich stößt Verf. zu einer Klassifikation der \(F^{2p-2}\) im \(R_p\) vor; der ersten Art gehören die irreduziblen Familien an, deren allgemeine Fläche nur vollständige Schnittkurven mit algebraischen Mannigfaltigkeiten trägt; bei denen der zweiten Art hingegen trägt die Fläche nur die Vielfachen eines kleinsten Linearsystems, das seinerseits ein Teiler vom Index \(k>1\) der Hyperebenenschnitte ist. Es gibt auch andere \(F^{2p-2}\), die aber von weniger als 19 Moduln abhängen.

PDFBibTeX XMLCite