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Differentialgeometrie der Strahlenkomplexe. II: Kurven und Torsen des Komplexes. III: Über die Regelfläche eines Komplexes. IV: Über Minimalkomplexe. (German) JFM 62.0824.03
II: Math. Z. 40, 703-712 (1936); III: Mh. Math. Phys. 44, 27-40; IV: Math. Z. 41, 252-260 (1936).
II. Im Anschluß an die erste Abhandlung gleichen Titels (Math. Z. 40 (1935), 560-581; F. d. M. 61\(_{\text{II}}\)) werden die Komplexkurven und abwickelbaren Komplexflächen untersucht. Zwischen den Krümmungen und den Windungen zweier Komplexkurven, die einander in einem Punkte eines Komplexstrahls berühren, besteht eine einfache Beziehung, in die sonst nur der Hauptdrall und die Entfernung des Berührungspunktes vom Zentralpunkt eingeht. Besonders berücksichtigt werden die den Komplexstrahl berührenden ebenen Komplexkurven, deren Krümmungsachsen eine Regelfläche vierter Ordnung bedecken, und die entsprechenden äquidistanten Kurven, deren Krümmungsachsen ein Paraboloid erfüllen.
III. Im Anschluß an die beiden vorhergehenden Abhandlungen wird die Umgebung zweiter Ordnung eines Komplexstrahls erforscht. Die metrischen Eigenschaften der Umgebung zweiter Ordnung lassen sich als projektive Eigenschaften einer ebenen Abbildung (Krümmungsbild) darstellen, die als Gegenstück der Dupinschen Indicatrix gelten kann.
IV. Verf. behandelt die Differentialgeometrie der Strahlenkomplexe in Analogie zur Flächentheorie, indem er von einer quadratischen Differentialform \[ \bar g_{ik} du^i du^k \] ausgeht. Beim Ausbau dieser Analogie werden besonders die “Minimalkomplexe” berücksichtigt. Ein Minimalkomplex liegt vor, wenn das Integral \[ \iiint\sqrt{\bar g_{ik}} du^1 du^2 du^3 \] einen Extremwert annimmt. Die zugehörigen Bedingungen für die Invarianten werden angegeben. Die geometrische Kennzeichnung aber läßt sich folgendermaßen formulieren. Verschwindet die Summe der ctg der Winkel zwischen jedem Kongruenzstrahl und den Achsen der drei linearen Hauptkomplexe, so liegt ein Minimalkomplex vor. Die Hauptrichtungen des Komplexes werden mit den Asymptotenrichtungen der Fläche verglichen. Wie die Minimalfläche durch Orthogonalität der Asymptotenrichtungen gekennzeichnet ist, so gilt für den Minimalkomplex jene Winkelbeziehung.

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