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La géométrie de l’intégrale \(\int F(x, y, y', y'')\,dx\). (French) JFM 62.0873.02
Den Gegenstand der Abhandlung bildet das Problem der Geometrisation des Integrals \(\int F(x, y, y', y'')\,dx\) gegenüber der allgemeinen Gruppe (\(B\)) der Berührungstransformationen der Ebene; der Ausdruck \(F\,dx\) spielt dabei die Rolle des Elementarbogens. Wenn die Funktion \(F\) in \(y''\) nicht linear ist und wenn sie eine gewisse Differentialgleichung dritter Ordnung nicht erfüllt (allgemeiner Fall), so lassen sich in den Veränderlichen \(x\), \(y\), \(y'\), \(y''\) vier Pfaffsche Formen \(\omega \), \(\omega _1\), \(\omega _2\), \(\omega _3\) bilden, die mit dem Integral invariant gegenüber (\(B\)) verbunden sind. Vermöge der allgemeinen Methode des Verf. kommt man so zu den Gleichungen \[ \omega '=[\omega _2\omega _3]-\varOmega,\;\;\omega _1^\prime=[\omega \omega _2]-\varOmega _1,\;\;\omega _2^\prime=[\omega \omega _3]-\varOmega _2.\;\;\omega _3^\prime=-\varOmega _3. \]
Obige Relationen bestimmen in der Mannigfaltigkeit der Kurvenelemente zweiter Ordnung \((x, y, y', y'')\) eine verallgemeinerte Geometrie, die der Gruppe der Transformationen \[ \bar x=ax+b,\;\;\bar y=y+cx+d,\;\;\bar y'=\frac{y'+c}{a},\;\;\bar y''=\frac{1}{a^2}y'' \] im Kleinschen Sinne entspricht. Die Formen \(\varOmega \) definieren die Krümmungen des Raumes; ihre Koeffizienten sind Differentialinvarianten des Integrals \(\int F\,dx\) gegenüber (\(B\)). - Für spezielle Formen der Funktion \(F\) läßt sich das Integral vermöge einer Geometrie der Linienelemente \((x, y, y')\) geometrisieren. Es werden eingehend zwei solche Spezialfälle untersucht: a) \(F=(Ay''+B)^p\) (\(p\not=0\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), 1), b) \(F=\sqrt{Ay''+B}\) (\(A\) und \(B\) frei von \(y''\)). Im Falle a) bekommt man eine verallgemeinerte Affingeometrie, die der linearen Transformationsgruppe \[ \bar x=a^px+b,\;\;\bar y=a^{2p-1}y+cx+d,\;\;\bar y'=a^{p-1}y'+\frac{c}{a^p} \] zugeordnet ist. Wenn die Koeffizienten \(A\) und \(B\) speziellen Bedingungen unterworfen sind, so läßt sich sogar das Integral vermöge eines Raumes geometrisieren, dessen Grundelement der Punkt ist. Der Fall b) wird vermittels einer axiomatischen Methode erledigt. Man kommt auf diesem Wege zu einer Geometrie, die eine Verallgemeinerung der unimodularen Affingeometrie ist. In beiden Spezialfällen werden die Koeffizienten des affinen Zusammenhangs bestimmt. (V 6 D.)

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