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Fields of parallel vectors in the large. (English) JFM 62.0877.03
Es ist bekannt, daß in einem \(n\)-dimensionalen affin zusammenhängenden Raum dann und nur dann \(n\) unabhängige Felder von parallelen Vektoren existieren, wenn der Krümmungstensor verschwindet. Die Existenz derartiger Felder ist bisher nur im kleinen bewiesen worden; Verf. zeigt, daß dieser Satz auch im großen richtig bleibt, indem er gleichzeitig folgende Verallgemeinerung beweist: \(I_n\) einer affin zusammenhängenden, analytischen, \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) existieren dann und nur dann wenigstens \(k\) linear unabhängige Felder von parallelen kontravarianten Vektoren, deren Komponenten \(\xi _{(1)}^\alpha (x)\),…, \(\xi _{(k)}^\alpha (x)\) in ganz \(M\) regulär analytische Funktionen der Koordinaten sind, wenn das Polynom \(R_{k}(B)\) überall in \(M\) verschwindet. Dabei bedeutet \(R_k(B)\) die Quadratsumme aller \((n + 1 - k)\)-reihigen Determinanten der Matrix des Gleichungssystems \[ \xi ^\mu \,B_{\mu \beta \gamma }^\alpha =0,\;\;\xi ^\mu \,B_{\mu \beta \gamma, \delta _1}^\alpha =0,\dots,\;\;\xi ^\mu \,B_{\mu \beta \gamma,\delta _1,\dots,\delta _n}=0. \] \(B_{\mu \beta \gamma }^\alpha \) ist der Krümmungstensor, und \(B_{\mu \beta \gamma, \delta }^\alpha \) usw. sind seine kovarianten Ableitungen.
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Full Text: EuDML