×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur les centres d’attraction minimaux des systèmes dynamiques. (French) JFM 62.0992.11
Diese Arbeit enthält eine Untersuchung der Rekurrenz- und asymptotischen Eigenschaften von Bewegungen eines allgemeinen dynamischen Systems. Die Ergebnisse ähneln denen von Birkhoff (Dynamical systems (1927; F. d. M. 53, 732), chap.VII), sind aber etwas genauer. Außerdem vermeidet Verf. die Anwendung jedes transfiniten Prozesses, wie er z. B. von Birkhoff bei der Definition der “Zentralbewegungen” angewendet worden ist.
Die Bewegungen eines allgemeinen dynamischen Systems sind charakterisiert durch die Bahnkurven \(f \,(p, \,t)\) \((p=(x_1, \ldots \!, x_n))\) eines Systems von \(n\) Gleichungen der Form \[ \frac{dx_i}{dt}=X_i \, (x_1, \ldots \!, x_n). \] Eine Menge von Punkten, die eine Familie von ganzen Bahnkurven bilden, heißt invariant. Ein Punkt \(q\) heißt \(\omega\)-Limes-Punkt der Bahnkurve \(f \,(p, \,t)\), wenn es für jede Umgebung \(U\) von \(q\) beliebig große Werte von \(t\) gibt, so daß \(f \,(p, \,t) \subset U\). Die Gesamtheit der \(\omega\)-Limes-Punkte ist eine invariante Menge, die aus den \(\omega\)-Limes-Bewegungen von \(f \,(p, \,t)\) besteht. Wenn es eine kompakte Menge \(E\) und ein \(\tau\) gibt, so daß \(f \,(p, \,t) \subset E\), wenn \(t > \tau\), so heißt \(f \,(p, \,t)\) positiv stabil im Sinne von Lagrange.
Man betrachte die Bewegung eines gegebenen Punktes \(p\) während des Zeitintervalls \(T\). \(t\) sei der Zeitbetrag, während dessen \(p\) in einer gegebenen Menge \(G\) bleibt. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von \(p\) bezüglich \(G\) ist der Grenzwert – falls ein solcher existiert – von \(\dfrac{t}{T}\) für \(T \to \infty\). Eine abgeschlossene kompakte invariante Menge \(W\) heißt ein Attraktionszentrum für die Bewegung \(f \,(p, \,t)\), wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von \(p\) bezüglich jeder Umgebung von \(W\) gleich 1 ist. Wenn keine eigentliche Teilmenge von \(W\) ebenfalls Attraktionszentrum für \(f \,(p, \,t)\) ist, so ist \(W\) ein minimales Attraktionszentrum für \(f \,(p, \,t)\).
Verf. zeigt nun, daß es unter den \(\omega\)-Limes-Bewegungen einer positiv stabilen \(f \,(p, \,t)\) eine invariante Menge \(W\) gibt, die das minimale Attraktionszentrum für \(f \,(p, \,t)\) ist. \(W\) hat die Rekurrenzeigenschaft für Gebiete, d. h: Für jede in \(W\) offene Menge \(H\) gibt es beliebig große Werte von \(t\), so daß \(f \,(H, \,t) \cap H \neq 0\). Schließlich sei \(M\) eine invariante Familie von positiv stabilen Bewegungen und \(W^{*}\) die abgeschlossene Hülle der Gesamtheit der minimalen Attraktionszentren von Bewegungen von \(M\). Dann ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit jedes Punktes \(p \subset M\) bezüglich jeder Umgebung von \(W^{*}\) gleich 1.
Ähnliche Definitionen und Sätze gelten, wenn man \(t\) gegen \(-\infty\) statt \(+\infty\) streben läßt. (IV 10, VI 3.)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML