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Sur une extension du théorème ergodique. (French) JFM 62.0995.02
Eine Strömung in einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(G\) sei durch ein System von Gleichungen bestimmt, die im kleinen von der Form \[ \frac{dx_i}{dt}=X_i(x_1,\dots,x_n)\qquad(i=1,\dots,n) \] sind. Die \(X_i\) mögen Lipschitzbedingungen (im kleinen) erfüllen. \(f(p,t)\) bezeichne die Bewegung eines willkürlichen Punktes \(p\), und die Bewegung eines jeden \(p\) sei für alle \(t\) definiert. Die Strömung besitze überdies eine Integralinvariante \(\int M(x)\,d\omega\), so daß \[ \int\limits_\varOmega M\,d\omega=\int\limits_{f(\varOmega,t)}M\,d\omega \] für jedes kompakte \(\varOmega\subset G\) und \(\int\limits_G M\,d\omega=\infty\). Schließlich sei \(G\) unzerlegbar, d. h. nicht als Summe zweier disjunkter invarianter Mengen mit von null verschiedenem Maß darstellbar. Unter diesen Voraussetzungen zeigt Verf., daß der “Ergodensatz” von Birkhoff (Proc. nat. Acad. Sci. USA 17 (1931), 656-660; F. d. M. 57\(_{\text{I}}\), 1013) in der folgenden Form gilt: Ist \(v\) eine kompakte meßbare Menge und \(\varphi_v(p,t)\) das Maß der Zeit, die ein sich bewegender Punkt \(x=f(p,t)\) während des Zeitintervalls \((0,t)\) in \(v\) verbringt, dann gilt für fast alle Punkte \(p\) \[ \lim_{t\to\infty}\frac1t\varphi_v(p,t)=0 \] (d. h. die “Aufenthaltswahrscheinlichkeit” von \(p\) bezüglich \(v\) ist null); überdies gilt, wenn \(v_1\) und \(v_2\) meßbar und kompakt sind, für fast alle \(p\) \[ \lim_{t\to\infty}\frac{\varphi_{v_1}(p,t)}{\varphi_{v_2}(p,t)}= \frac{\int\limits_{v_1}M\,d\omega}{\int\limits_{v_2}M\,d\omega}. \] Dies Ergebnis stellt eine Erweiterung des Ergodensatzes auf den Fall einer nicht-kompakten Strömung dar. Der Beweis besteht in der Einführung einer Funktion \(\mu(x)\) von der Eigenschaft, daß \(\int M\mu d\omega\) eine Integralinvariante für die Strömung \(\dfrac{dx_i}{dt}=\dfrac{X_i}\mu\) und \(\int\limits_G M\mu d\omega\) endlich ist; dann kann man den Birkhoffschen Satz anwenden.
Im Zusammenhang mit der Benutzung von Integralinvarianten zeigt Verf., daß die klassischen Bedingungen für deren Existenz auf den Fall ausgedehnt werden können, daß die Ableitungen von \(M\) sowie den \(X_i\) in einem Gebiet \(D\) des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes beschränkt sind. Unter diesen Voraussetzungen ist notwendig und hinreichend dafür, daß \(\int Md\omega\) invariant sei, die Gültigkeit der Gleichung \(\sum\dfrac{\partial(MX_i)}{\partial x_i}=0\) fast überall in \(D\).
Die Arbeit schließt mit einem Beispiel einer Strömung, die alle oben aufgestellten Bedingungen erfüllt und die Eigenschaft hat, daß (1) jede Bewegung eine Zentralbewegung ist (Birkhoff, Dynamical systems (1927; F. d. M. 53, 732), chap. VII) und (2) ein Fixpunkt \(q\) existiert, so daß die Aufenthaltswahrscheinlichkeit jedes Punktes (ohne Ausnahme) bezüglich einer beliebigen Umgebung von \(q\) gleich 1 ist. Dieses Beispiel zeigt, daß eine gewisse invariante Menge (in diesem Falle \(q\)) dieselben Wahrscheinlichkeitseigenschaften wie die Zentralbewegungen haben und doch eine echte Teilmenge der letzteren sein kann.

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Full Text: EuDML