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Über konvexe Matrixfunktionen. (German) JFM 62.1079.02

Im Anschluß an Gedankengänge von K. Löwner (Math. Z. 38 (1934), 177-216; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 55) untersucht Verf. konvexe Matrixfunktionen. Unter einer Matrixfunktion \(f(X)\) \(n\)-ter Stufe versteht man nach Löwner eine in einem gewissen Bereich erklärte reelle Funktion \(f(X)\) einer Matrix \(n\)-ten Grades, deren Argument \(X\) auf die Gesamtheit der reellen symmetrischen Matrizen beschränkt ist und deren Eigenwerte die Größen \(f(\xi)\) mit den Eigenwerten \(\xi\) der Matrix \(X\) sind; eine solche Funktion heißt konvex, wenn für zwei Matrizen \(X, Y,\) für die \(Y - X\) nicht-negativ definit ist (in Zeichen: \(X \leqq Y\)) die bekannte Konvexitätsbedingung : \[ f (\alpha X + \beta Y) \leqq \alpha f (X) + \beta f (Y) \qquad (\alpha + \beta = 1) \] erfüllt ist. Die skalare Funktion \(f (x)\) heißt dann auch von \(n\)-ter Stufe konvex; jede von \(n\)-ter Stufe konvexe Funktion ist auch von jeder niedrigeren Stufe konvex.
Eine von zweiter Stufe konvexe Funktion \(f (x)\) ist im Innern des Definitionsbereiches zweimal stetig differenzierbar, da die dritten Differenzenquotienten dort beschränkt sind. Als Hauptergebnis seiner Arbeit erhält Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen für die Konvexität \(n\)-ter Stufe: Bezeichnet \(k (\xi, \eta, \zeta)\) den mit dem Faktor \(\frac 12\) versehenen zweiten Differenzenquotienten von \(f (x)\) der Argumente \(\xi, \eta, \zeta\), so ist \(f (x)\) dann und nur dann von \(n\)-ter Stufe konvex, wenn die Determinanten \[ |k (\xi_0, \xi_\varkappa, \xi_\lambda)|\qquad (\varkappa, \lambda = 1,2,\dots,p; \quad 1 \leqq p<n) \] bei beliebiger Wahl der Argumente im Definitionsbereich der Funktion nichtnegativ ausfallen, ebenso die gleiche Determinante für \(p = n\) stets dann, wenn \(\xi_0\) mit einem der anderen \(\xi\)-Werte zusammenfällt.

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