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Gruppen mit vom Zentrum wesentlich verschiedenem Kern und abelscher Faktorgruppe nach dem Kern. (German) JFM 62.1096.03

Verf. dehnt seine früheren Untersuchungen über Gruppen mit zyklischer Faktorgruppe nach dem Kern (Compositio math., Groningen, 1 (1934), 254-283; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 80) aus auf solche mit beliebiger abelscher Faktorgruppe.
Ist der Kern \(\mathfrak K\) von \(\mathfrak G\) vom Zentrum verschieden und \(\mathfrak G/\mathfrak K\) abelsch, so ist \(\mathfrak G\) das direkte Produkt seiner Primärkomponenten. Um zu erreichen, daß \(\mathfrak K\) vom Zentrum verschieden ist, wird vorausgesetzt, daß \(\mathfrak G\) eine Gruppe mit wesentlichem Kern ist, d. h. daß \(\mathfrak K \neq \mathfrak G\) und \(\mathfrak K\) eine maximale Untergruppe ohne nichtinvariante Untergruppen ist. Unter dieser Voraussetzung kann man sich bei den weiteren Untersuchungen auf eine zu der Primzahl \(p\) gehörige primäre Gruppe \(\mathfrak G\) mit wesentlichem Kern beschränken; denn die Primärkomponenten einer Gruppe mit wesentlichem Kern sind abelsch, hamiltonsch oder selbst Gruppen mit wesentlichem Kern. Bei Primärgruppen mit wesentlichem Kern ist der Kern abelsch. Primärgruppen mit wesentlichem Kern können auch dadurch charakterisiert werden, daß \(\mathfrak K\) echte Untergruppe ist und daß jedes mit \(\mathfrak K\) elementweise vertauschbare Element in \(\mathfrak K\) enthalten ist.
Im folgenden erfordern die Fälle \(p = 2\) und \(p = 3\) besondere Betrachtungen. Beschränkt man sich aber auf \(p \neq 2\), \(p \neq 3\) und auf den hier wirklich neuen Fall, daß \(\mathfrak G/\mathfrak K\) abelsch, aber nicht zyklisch ist, so kann man gewisse Bedingungen angeben, denen die durch Transformation mit Elementen von \(\mathfrak G\) in \(\mathfrak K\) erzeugte Antomorphismengruppe \(A\) genügt. Der Kern läßt sich auch direkt mit Hilfe der so in ihm erzeugten Automorphismengruppe charakterisieren. Ist umgekehrt eine abelsche Gruppe \(\mathfrak G\) gegeben und eine Gruppe \(A\) von Automorphismen von \(\mathfrak K\), die jenen Bedingungen genügt, so gibt es eine Gruppe \(\mathfrak G\), die \(\mathfrak K\) als Kern enthält und in \(\mathfrak K\) die Automorphismengruppe \(A\) induziert. Es lassen sich nun notwendige und hinreichende Bedingungen dafür angeben, daß zwei Gruppen mit demselben \(\mathfrak K\) und demselben \(A\) isomorph sind. In einem Spezialfall ist \(\mathfrak G\) eindeutig bestimmt durch \(\mathfrak K\), \(A\) und einige Zahleninvarianten.

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Full Text: EuDML