×

zbMATH — the first resource for mathematics

Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. (German) JFM 62.1105.01
Diese Beitragsreihe ist dazu bestimmt, Probleme, die im Idealbericht des Verf. (Ergebn. Math. Grenzgeb. 4 (1935), Nr. 3; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 113) angedeutet sind, in Einzelheiten zu ergänzen sowie nach Möglichkeit weiter zu treiben. Im vorliegenden Beitrag soll die Arithmetik in beliebigen ganz abgeschlossenen Integritätsbereichen \(\mathfrak J\) (Quotientenkörper \(\mathfrak K\)) entwickelt werden, wozu einerseits die Bewertungstheorie herangezogen wird, deren Hauptsatz besagt, daß \(\mathfrak J\) gleich dem Durchschnitt aller Bewertungsringe \(\mathfrak B_\tau\) mit \(\mathfrak J \subseteqq \mathfrak B_\tau \subseteqq \mathfrak K\) ist: \(\mathfrak J = \underset{\tau}\varDelta \, \mathfrak B_\tau\). Andererseits wird die Prüfersche Verallgemeinerung des Dedekindschen Idealbegriffs (J. reine angew. Math. 168 (1932), 1-36; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 147) benutzt, indem als \(^\prime\)-Operationen alle die Rechenvorschriften eingeführt werden, die jedem Ideal \(\mathfrak a\) ein Ideal \(\mathfrak a^\prime\) so zuordnen, daß (1) \(\mathfrak J^\prime = \mathfrak J\), (2) \(\mathfrak a^\prime \supseteqq \mathfrak a\), aus \(\mathfrak a \supseteqq \mathfrak b\) folgt \(\mathfrak a^\prime \supseteqq \mathfrak b^\prime\), (3) \((\mathfrak a^\prime)^\prime = \mathfrak a^\prime\), (4) \((\mathfrak a + \mathfrak b)^\prime = (\mathfrak a^\prime + \mathfrak b^\prime)^\prime\), (5) \((\mathfrak a \cdot \mathfrak b)^\prime = (\mathfrak a^\prime \cdot \mathfrak b^\prime)^\prime\), (6) \((\mathfrak a^\prime \frown \mathfrak b^\prime)^\prime = \mathfrak a^\prime \frown \mathfrak b^\prime\), (7) \((a) \mathfrak a^\prime = ((a) \mathfrak a)^\prime\), wobei \(a\) ein Element von \(\mathfrak K\) ist. Gilt für eine \(^\prime\)-Operation, daß aus \((\mathfrak a \mathfrak b)^\prime \subseteqq (\mathfrak a \mathfrak c)^\prime\) stets \(\mathfrak b^\prime \subseteqq \mathfrak c^\prime\) für jedes endliche Ideal \(\mathfrak a\) folgt, so heißt die Operation arithmetisch brauchbar.
Die \(b\)-Operation, definiert durch \(\mathfrak a_b = \underset{\tau}\varDelta \,\mathfrak a \mathfrak B_\tau\), ist z. B. arithmetisch brauchbar; daher kann nach Prüfer (a. a. O.) in \(\tilde\mathfrak K = \mathfrak K(x)\) (\(x\) eine Unbestimmte) ein Funktionalring \(\tilde{\mathfrak M}\) konstruiert werden: \(\dfrac{a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n}{b_0 + b_1x + \cdots + b_mx^m}\) soll zu \(\tilde{\mathfrak M}\) gehören, wenn \((a_0, a_1, \dots, a_n)_b \subseteqq (b_0, b_1, \dots, b_m)_b\) ist. \(\tilde{\mathfrak M}\) stimmt mit dem Prüferschen Funktionalring überein; aus der neuen Konstruktion aber ergibt sich erst, daß die Bewertungsringe \(\mathfrak B\) mit \(\mathfrak J \subseteqq \mathfrak B \subseteqq \mathfrak K\) umkehrbar eindeutig den Bewertungsringen \(\tilde{\mathfrak B}\) mit \(\tilde{\mathfrak M} \subseteqq \tilde{\mathfrak B}\subseteqq \tilde{\mathfrak K}\) entsprechen. Da in \(\tilde{\mathfrak M}\) jedes endliche Ideal als Hauptideal umkehrbar ist, sind die \(\tilde{\mathfrak B}\) gerade die Quotientenringe \(\tilde{\mathfrak M}_{\tilde{\mathfrak p}}\), die aus den Elementen \(\dfrac{\alpha}{\beta}\) (\(\alpha, \beta\) in \(\tilde{\mathfrak M}\), \(\beta\) nicht in \(\tilde{\mathfrak p}\)) bestehen, wenn \(\tilde{\mathfrak p}\) ein Primideal von \(\tilde{\mathfrak M}\) ist. Damit ist das Problem der Bestimmung aller Bewertungsringe \(\mathfrak B\) auf die Bestimmung der Primideale von \(\tilde{\mathfrak M}\) zurückgeführt. Zu jeder arithmetisch brauchbaren \(^\prime\)-Operation kann ganz entsprechend ein Funktionalring \(\tilde{\mathfrak M}^\prime\) konstruiert werden, der sich als ein Quotientenring von \(\tilde{\mathfrak M}\) erweist. Ist die \(v\)-Operation \(\mathfrak a_v = (\mathfrak a^{-1})^{-1}\) arithmetisch brauchbar, so ist \(\tilde{\mathfrak M}^\prime \subseteqq \tilde{\mathfrak M}_v\). Jeder Funktionalring \(\tilde{\mathfrak M}^\prime\) kann auch mit einer \(w\)-Operation erhalten werden: \(\mathfrak a_w = \underset{\mathfrak B_\tau \subset N}\varDelta \, \mathfrak a\, \mathfrak B_\tau\), wobei \(N\) eine Menge von Bewertungsringen \(\mathfrak B_\tau\) bedeutet mit \(\mathfrak J = \underset{\mathfrak B_\tau \subset N}\varDelta \, \mathfrak B_\tau\). Es werden dann spezielle \(w\)-Operationen genauer untersucht, besonders für Integritätsbereiche mit Maximalbedingung.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML