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Die Gruppe der \(p^n\)-primären Zahlen für einen Primteiler \(\mathfrak p\) von \(p\). (German) JFM 62.1115.01
Sei \(l\) ein diskret bewerteter perfekter Körper der Charakteristik 0 mit vollkommenem Restklassenkörper \(\mathfrak k\) der Primzahlcharakteristik \(p\), so daß nach der Strukturtheorie solcher Körper \(l\) vollverzweigte (Eisensteinsche) Erweiterung endlichen Grades eines eindeutig bestimmten perfekten unverzweigten Teilkörpers \(k\) mit demselben Restklassenkörper \(\mathfrak k\) ist. Sei \(L\) ein unverzweigter zyklischer Erweiterungskörper vom Grade \(m\) über \(l\) und enthalte \(l\) die \(m\)-ten Einheitswurzeln. Sei ferner \(K\) der größte absolutunverzweigte Teilkörper von \(L\) und \(\mathfrak K\) der Restklassenkörper von \(K\) und \(L\). In dem hier allein interessierenden nicht-trivialen Fall \(m = p^n\) bringt der Verf. die von Witt im J. reine angew. Math. 176 (1936), 126-140 (F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1112) angegebene arithmetisch ausgezeichnete Erzeugung von \(\mathfrak K/\mathfrak k\) in Zusammenhang mit der Kummerschen Erzeugung von \(L/l\) und deckt den Mechanismus dieses Zusammenhanges auf. – Werde \(k\) speziell als endlicher Körper von \(q = p^f\) Elementen angenommen. Faßt man dann \(l\) als \(\mathfrak p\)-adische Erweiterung eines die \(p^n\)-ten Einheitswurzeln enthaltenden algebraischen Zahlkörpers \(\varLambda\) für einen Primteiler \(\mathfrak p\) von \(p\) auf, so gewinnt man eine Kongruenzcharakterisierung der für \(\mathfrak p\) \(p^n\)-primären \(\omega\) aus \(\varLambda\) und eine darauf gegründete explizite Bestimmung des Artin-Symbols \[ \left(\frac{\omega}{\mathfrak p}\right)_{p^n} \;\text{ in } \;\varLambda. \]

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Full Text: Crelle EuDML