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On factorable polynomials in several indeterminates. (English) JFM 62.1118.02

In dieser Arbeit wird eine Klasse von Polynomen von \(k\) Unbestimmten \((k \geqq 1)\) mit Koeffizienten aus einem Galoisfeld \(GF(p^n)\) betrachtet. Es wird vorausgesetzt, daß sich jedes Polynom der Klasse in einem höheren Galoisfeld vollständig in ein Produkt von Linearfaktoren zerspalten läßt. Verf. erweitert, wo immer möglich, den Bestand der klassischen Sätze im Falle einer Unbestimmten (siehe z. B. Dickson, Linear groups with an exposition of the Galois field theory (1901; F. d. M. 32, 128 (JFM 32.0128.*)-131), S. 3-54) auf den vorliegenden Fall von \(k\) Unbestimmten. Es zeigt sich, daß die klassischen Beweise nicht mehr anwendbar sind und neue Methoden notwendig werden. Dies hat seinen Grund vor allem darin, daß im klassischen Fall die Form eines Polynoms explizit bekannt ist, während im vorliegenden Fall eine implizite Definition gegeben werden muß.
In §2 wird die Primitivität eines Polynoms (der Klasse) definiert. In §3 wird ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Irreduzibilität eines Polynoms gegeben und werden Formeln für das Produkt und die Anzahl \(\psi\) der primitiven irreduziblen Polynome vom Grade \(s\) aufgestellt. Dabei zeigt sich, daß an Stelle der im Falle einer Unbestimmten \(x\) fundamentalen Größe \(x^{p^{ns}} - x\) die Determinante \[ |x_i^{p^{nsj}}| \qquad (i, j = 0, \dots, k) \] tritt. Mit Hilfe einer Identität für \(\psi\) (§4) und unter Benutzung einer Zetafunktion für irreduzible Polynome wird die Anzahl aller primitiven Polynome vom Grade \(m\) berechnet (§5). In §6 wird das Produkt aller primitiven Polynome eines festen Grades berechnet. Die Formel für das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Polynome ergibt sich auf dieselbe Weise wie im klassischen Fall (§7). Verf. gibt zu allen angeführten Formeln analoge Formeln für Polynome, die \(x_k\) bzw. \(x_k^m\) wirklich enthalten.

Citations:

JFM 32.0128.*
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