On some sequences of integers. (English) JFM 62.1126.01

Erdös, P.; Turán, P.

J. London math. Soc. 11, 261-264 (1936).

Eine Folge natürlicher Zahlen \(a_1 < a_2 < \cdots\leqq N\), die keine drei konsekutiven Glieder einer arithmetischen Progression enthält, heiße kurz eine (zu \(N\) gehörige) \(A\)-Folge. Verf. behandeln obere Abschätzungen für die maximale Anzahl \(r (N)\) der Glieder von \(A\)-Folgen. Sie zeigen \(r(2N) \leqq N\) für \(N \geqq 8\) (was auch für \(N = 4,\, 5,\, 6\), aber wegen \(r(14) = 8\) nicht für \(N = 7\) richtig ist); für \(\varepsilon > 0\) und \(N > N_0(\varepsilon)\) ist \(r (N) < (\frac49 + \varepsilon) N\). Die beste Abschätzung, die die Verf. gewinnen, ist \(r (N) < (\frac38 + \varepsilon) N\) für \(N > N_1(\varepsilon)\). Wahrscheinlich gilt \(r(N) = o(N)\). Das würde auch aus der (für \(k = 1,\, 2,\, 3,\, 4\) bewiesenen) Szekeresschen Vermutung \(r \bigl(\frac12 (3^k + 1)\bigr) = 2^k\) folgen.

Reviewer: Behrbohm, H., Dr. (Augsburg)