Sur la convergence et la sommation des séries de fonctions orthogonales. (French) JFM 62.1188.04

Menchoff, D.

Bull. Soc. math. France 64, 147-170 (1936).

Ein in dem Intervall \((a,b)\) definiertes orthogonales und normiertes Funktionensystem (ON-System) \(\{\varphi_n(x)\}\) nennt Verf. ein “Konvergenzsystem”, wenn aus der Konvergenz einer Reihe \(\sum c_n^2\) fast überall in \((a,b)\) die Konvergenz der Reihe \(\sum c_n \varphi_n(x)\) folgt; denn im allgemeinen sind hierzu schärfere Voraussetzungen über die \(c_n\) notwendig, (vgl. H. Rademacher, Math. Ann. 87 (1922), 112-138; F. d. M. 48, 485). Verf. beweist folgende Sätze: Jedes ON-System enthält als Teilmenge ein unendliches Konvergenzsystem. – Ist \(W(n)\) eine beliebige positive, mit \(n\) unbeschränkt wachsende Funktion, so läßt sich jedes ON-System so umordnen: \(\{\varphi_n(x)\} \to \{\varphi_{m_k}(x)\}\), daß aus der Konvergenz von \(\sum W(n)c_n^2\) (bei im übrigen willkürlichen \(c_n\)) fast überall die von \(\sum c_k\varphi_{m_k}\) folgt. – Zu einem beliebigen ON-System und einer konvergenten Reihe \(\sum c_n^2\) läßt sich für jedes reguläre Toeplitzsche Summationsverfahren \(T\) eine solche Umordnung der Reihe \(\sum c_n\varphi_n\) angeben, daß die neue Reihe fast überall \(T\)-summierbar ist. – Ohne Beweis wird noch der Satz angeführt: Für jedes \(T\)-Verfahren läßt sich jedes ON-System so umordnen, daß dann aus der Konvergenz einer beliebigen Reihe \(\sum c_n^2\) fast überall die \(T\)-Summierbarkeit der Reihe \(\sum c_k\varphi_{m_k}\) folgt.

Reviewer: Bödewadt, U. T., Dr. (Oldenburg)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.