Sur la représentation conforme des domaines à frontières variables. (French) JFM 62.1215.04

Markouchevitch, A.

Rec. math., Moscou, (2) 1, 863-886 (1936).

Es sei \(\{G_n\}\) eine Folge von einfach zusammenhängenden Gebieten der \(z\)-Ebene, welche alle den Kreis \(|z -\zeta|<\varrho\) enthalten und deren Ränder aus mehr als einem Punkt bestehen. Es konvergiere die Folge \(\{G_n\}\) gegen ihren Kern \(G\) (Carathéodory). Es bilden \(w = \varphi(z)\), \(w=\varphi_n(z)\) \(G\), \(G_n\) konform auf \(|w|<1\) ab, derart, daß \(\varphi(\zeta)=\varphi_n(\zeta)=0\), \(\varphi'(\zeta)\), \(\varphi_n'(\zeta)>0\). Es seien \(z =\psi(w)\), \( z = \psi_n (w)\) die Umkehrfunktionen. Einen bekannten Satz von Carathéodory verallgemeinernd zeigt Verf., daß \[ \iint\limits_G |\varphi'-\varphi_n'|^2 dxdy\to 0 \quad \text{für}\quad n\to\infty. \] Eine notwendige und hinreichende geometrische Bedingung wird aufgestellt dafür, daß die \(\psi_n\) gleichmäßig in \(|w|\leqq 1\) gegen \(\psi\) konvergieren. Weiter werden u. a. Bedingungen aufgestellt dafür, daß \(\varphi_n\to\varphi\) und \(\varphi_n'\to\varphi'\) gleichmäßig im abgeschlossenen Gebiet \(G\).

Reviewer: Visser, C., Dr. (Dodrecht)