Cinquini, S. Sopra l’esistenza della soluzione nei problemi di calcolo delle variazioni di ordine \(n\). (Italian) JFM 62.1327.01 Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 5, 169-190 (1936). Der Verf. erweitert die von Tonelli aufgestellten Existensätze auf Variationsprobleme mit höheren Ableitungen. Ist \[ J^{(n)}=\int\limits_a^C f\left(x, y(x), y'(x),\ldots,y^{(n-1)}(x)\right)\,dx \] das zum Minimum zu machende Integral, \(A^{(n)}\) eine abgeschlossene Menge des \((x,y,\ldots, y^{(n-1)})\)-Raumes \(R_n\), der mit euklidischer Metrik versehen gedacht wird, so werden zunächst Sätze über die Halbstetigkeit von \(J^{(n)}\) bewiesen. Nach naheliegender Verallgemeinerung der Begriffe “quasi-regulär positiv”, “quasi-regulär positiv seminormal”, “quasi-regulär positiv normal”, “regulär-positiv” – wobei die höchste Ableitung \(y^{(n)}\) die Rolle von \(y'\) beim einfachsten Problem übernimmt – ergibt sich vor allem die Halbstetigkeit (nach unten) für quasi-regulär seminormale \(J^{(n)}\). Der Umgebungsbegriff ist natürlich auf den \(R_n\) zu beziehen. Unter geeigneten Voraussetzungen über die zweiten Ableitungen von \(f\) kann die Halbstetigkeit auch für quasi-regulär positive \(J^{(n)}\) bewiesen werden.Es werden dann eine Reihe von Existenzsätzen bewiesen, deren erste Gruppe von Kurvenscharen handelt, die in einem beschränkten Gebiet des \(R_n\) liegen. Als wesentliche Voraussetzung tritt hier auf, daß \[ \lim\limits_{\left|y^{(n)}\right|\to\infty} \left|\dfrac{f(x,y,\ldots,y^{(n)})}{y^{(n)}}\right|=\infty \] für jeden Punkt des genannten Gebiets sein soll. Diese Voraussetzung läßt sich auch durch eine weniger weitgehende ersetzen. Auch kann von ihrer Erfüllung auf gewissen Untermengen des Bereichs abgesehen werden.Endlich kann die Existenz des Minimums in einem nicht-beschränkten Gebiet behauptet werden, falls es im \(R_n\) eine abgeschlossene beschränkte Menge \(M\) derart gibt, daß \(J^{(n)}\) für jede Kurvenfolge \(C_{\nu}\) gegen \(+\infty\) strebt, für welche jede \(C_{\nu}\) einen Punkt von \(M\) enthält, während das Maximum \(l_{\nu}\) der Entfernung der Punkte \((x, y,\ldots, y^{(n-1)})\) auf \(C_{\nu}\) vom Punkte \((0, 0,\ldots,0)\) unendlich wird. Verschiedene Korollare und Spezialfälle zeigen die Anwendbarkeit dieses Kriteriums. Reviewer: Radon, J., Prof. (Tübingen) Cited in 5 Documents JFM Section:Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 15. Variationsrechnung. × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML