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Fundamental theorems concerning point sets. (English) JFM 62.1412.03

Rice Inst. Pamphlet 23, 1-74 (1936).
Verf. betrachtet einen Raum \(S\), in dem die Axiome 0, 1, 2 seiner Foundations of point set theory (1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 637) gelten, in dem aber außerdem zwischen gewissen Punkten eine weitere – nicht definierte – Beziehung “\(A\) ist benachbart (contiguous) zu \(B\)” erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt: (A) Kein Punkt ist zu sich selbst benachbart. (B) Wenn \(A\) zu \(B\) benachbart ist, dann auch \(B\) zu \(A\). (C) Ist \(M\) eine abgeschlossene Menge, \(H\) eine Punktmenge, von der jeder Punkt zu einem Punkt von \(M\) benachbart ist, dann ist kein Punkt von \(S - M\) Häufungspunkt von \(H\). – Dabei werden die Begriffe Häufungspunkt, abgeschlossen, offen, perfekt, kompakt usw. wie üblich, also allein auf Grund der Begriffe Punkt und Umgebung definiert. Dagegen heißen – abweichend von der üblichen Definition – zwei Mengen voneinander getrennt (mutually separated), wenn sie zueinander fremd sind, keine einen Häufungspunkt der anderen enthält und keine einen Punkt enthält, der zu einem Punkt der anderen benachbart ist. Dadurch erhalten auch die Begriffe zusammenhängende Menge, Kontinuum, stetige Kurve, Zerschneidungspunkt, Zerschneidungskontinuum und einfacher (stetiger) Bogen einen neuen Sinn. (So bilden z. B. zwei zueinander benachbarte Punkte \(A\), \(B\) einen einfachen Bogen von \(A\) nach \(B\).) Randpunkte einer Menge \(M\) heißen nicht nur die Randpunkte im üblichen Sinne, sondern auch diejenigen Punkte von \(S - M\), die zu einem Punkt von \(M\) benachbart sind.
Im ersten Teil der Arbeit wird die Theorie der Punktmengen im Raume \(S\), soweit sie auf den oben angegebenen Begriffen beruht, aufgebaut. Das kann zum großen Teil in enger Anlehnung an die Kapitel I, II des erwähnten Buches geschehen. Vor Einführung der einfach geschlossenen Kurve wird noch ein neues Axiom hinzugefügt, nämlich: (D) Es gibt in \(S\) kein Tripel von Punkten von der Eigenschaft, daß jeder Punkt des Tripels zu jedem der beiden anderen benachbart ist.
Im zweiten Teil der Arbeit betrachtet Verf. in einem Raum \(R\), der die Axiome 0, 1, 2 erfüllt, eine “upper semi-continuous collection” \(G\) von (nicht notwendig paarweise fremden) Kontinuen, die \(R\) ausfüllt; zwei Kontinua von \(G\) sollen höchstens einen Punkt \(p\) gemeinsam haben, und ein zwei Kontinuen gemeinsamer Punkt \(p\) soll selbst ein Element von \(G\) sein; außerdem wird noch eine Forderung über das Verhalten der nicht ausgearteten Elemente von \(G\), die \(p\) enthalten, in der Nähe von \(p\) gestellt. Verf. zeigt, daß eine solche \(G\) – Verf. nennt sie eine upper semi-continuous collection of the second type – zu einem Raum \(S\) (mit den Axiomen 0, 1, 2, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\)) wird, wenn man die Elemente von \(G\) als Punkte von \(S\) auffaßt, Umgebungen in einer durch die Stetigkeitseigenschaften von \(G\) bedingten Weise definiert und zwei Elemente von \(G\) als zueinander benachbart dann und nur dann bezeichnet, wenn das eine ein nicht ausgeartetes Kontinuum \(g\), das andere ein Punkt \(p\) ist und \(p \in g\) gilt.
Der dritte Teil der Arbeit bildet eine Ergänzung zu den Untersuchungen der Foundations of point set theory über die Struktur eines metrischen Kontinuums \(M\), aufgefaßt als upper semi-continuous collection von Teilkontinuen. Vor allem handelt es sich um den a. a. O., S. 355 eingeführten Begriff des “essential continuum of condensation of type 1”; ein solches Kontinuum braucht nicht Häufungskontinuum (continuum of condensation) von \(M\) zu sein, enthält aber, wie hier gezeigt wird, bei kompaktem \(M\) stets ein Häufungskontinuum von \(M\). Ferner wird der Begriff der dendratomic und graphotomic sets (a. a. O. S. 345) verallgemeinert zu dem der \(Q\)-atomic set; das sind – grob gesagt – Mengen, die notwendigerweise als Bausteine einer \(M\) ausfüllenden upper semicontinuous collection \(G\) von paarweise fremden Kontinuen auftreten, wenn der von den Elementen von \(G\) gebildete topologische Raum einer gegebenen Menge \(Q\) von topologischen Typen angehören soll. – Der Zusammenhang mit den beiden anderen Teilen der Arbeit ist nur lose: gelegentlich wird der Aufbau einer kompakten stetigen Kurve aus zyklischen Elementen erwähnt, der eine upper semi-continuous collection von dem im zweiten Teil behandelten Typus und damit einen Raum \(S\) liefert.