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Differentiable manifolds. (English) JFM 62.1454.01

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten werden gewöhnlich auf zwei verschiedene Weisen definiert, einerseits als Punktmengen des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raumes durch Parameterdarstellungen in der Umgebung eines jeden Punktes, andererseits in abstrakter Weise durch ein Axiomensystem (vgl. z. B. O. Veblen, J. H. C. Whitehead, The foundations of differential geometry, 1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 754). Verf. setzt sich zum Ziel, die Äquivalenz beider Definitionen nachzuweisen. Genauer wird folgender Satz bewiesen: Jede \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(M_n\) der Klasse \(C^r\) (d. h. \(r\)-mal stetig differenzierbar) mit \(r \geqq1\) läßt sich eineindeutig und regulär von der Klasse \(C^r\) auf eine \(n\)-dimensionale analytische Mannigfaltigkeit \(\overline M_n\) des \((2n + 1)\)-dimensionalen euklidischen Raumes \(E_{2n+1}\) abbilden. Regulär von der Klasse \(C^r\) soll heißen, daß die Abbildung in zugelassenen Koordinatensystemen der \(M_n\) und \(\overline M_n\) durch \(n\) \(r\)-mal stetig differenzierbare Funktionen mit nicht verschwindender Funktionaldeterminante darstellbar ist. Insbesondere folgt, daß man jede Mannigfaltigkeit der Klasse \(C^r\) (\(r \geqq 1\)) durch Spezialisierung der zugelassenen Koordinatensysteme zu einer analytischen Mannigfaltigkeit machen und diese mit einer analytischen Riemannschen Metrik versehen kann. Offen bleibt die Frage, ob jede abstrakte analytische Mannigfaltigkeit auch analytisch in den \(E_{2n+1}\) eingebettet werden kann. Aus dem oben genannten Satz folgt nur, daß die Abbildung in den \(E_{2n+1}\) beliebig oft stetig differenzierbar ist.
Das zweite Hauptergebnis ist ein Approximationssatz, dessen genaue Formulierung hier nicht wiedergegeben werden kann. Aus diesen beiden Hauptsätzen lassen sich leicht einige wichtige Folgerungen ziehen: \(f\) sei eine beliebige stetige Abbildung einer \(m\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) in eine \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(N\), die beide stetig differenzierbar seien. Ist \(n \geqq 2m\), so kann \(f\) durch beliebig kleine Änderungen in eine reguläre (d. h. im kleinen samt ihrer Umkehrung stetig differenzierbare) Abbildung \(F\) übergeführt werden (d. h. also das Bild von \(M\) ist eine \(n\)-dimensionale stetig differenzierbare Mannigfaltigkeit in \(N\) mit Selbstdurchdringungen). Ist \(n \geqq 2m + 1\), so läßt sich überdies erreichen, daß \(F\) im großen eineindeutig ist (das Bild in \(N\) hat also keine Selbstdurchdringungen). Ist \(n \geqq 2m + 2\) und sind \(f_0\), \(f_1\) zwei reguläre Abbildungen von \(M\) in den \(E_n\), so läßt sich \(f_0\) in \(f_1\) so deformieren, daß der dabei im \(E_n\) überstrichene Bereich das reguläre Bild einer \((m +1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist. Dieses Bild ist auch nichtsingulär (d. h. topologisch), wenn \(n \geqq 2m + 3\) und \(f_0\), \(f_1\) nichtsingulär sind. Für weitere Ergebnisse und Anwendungen muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.
Die Beweise stützen sich auf den Weierstraßschen Approximationssatz und eine frühere Arbeit des Verf. (Trans. Amer. math. Soc. 36 (1934), 63-89; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 217).

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