Sur les espaces localement homogènes. (French) JFM 62.1473.03

Ehresmann, C.

Enseign. math. 35, 317-333 (1936).

Lokal homogene Räume, deren differentialgeometrische Struktur durch eine lokal transitive infinitesimale Liesche Transformationsgruppe definiert ist, sind bereits von J. H. C. Whitehead (Ann. Math., Princeton, (2) 33 (1932), 681-687; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 755) behandelt worden. Verf. betrachtet daneben spezielle derartige Räume, die homogenen Räume. Ein Raum heißt homogen, wenn in ihm eine transitive Liesche Transformationsgruppe im großen gegeben ist. Zunächst zeigt Verf., daß es lokal homogene Räume gibt, die keinem homogenen Raum äquivalent sind. Er kann dann beweisen, daß ein geschlossener, einfach zusammenhängender, lokal homogener Raum auch einem homogenen Raum äquivalent (im großen) ist. Ferner gibt er für den Beweis des von Whitehead a. a. O. veröffentlichten Eindeutigkeitssatzes eine neue Darstellung. Dabei wird der Bedingung der Vollständigkeit die folgende Fassung gegeben: Der lokal homogene Raum \(E\) sei dem einfach zusammenhängenden homogenen Raum \(H\) im kleinen äquivalent, und jeder divergenten Linie des universellen Überlagerungsraumes von \(E\) entspreche auf \(H\) ebenfalls eine divergente Linie; dann heißt \(E\) vollständig (“normal”).
Zum Schluß bringt Verf. Anwendungen auf lokal projektive Räume, in denen die definierende lokale Liesche Gruppe also die projektive Gruppe ist. (Vgl. hierzu auch Verf., C. R. Acad. Sci., Paris, 196 (1933), 1354-1355; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1360).

Reviewer: Rinow, W., Dr. (Berlin)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Differentialgeometrie in allgemeinen Räumen. Feldtheorie.