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Note on formal logic. (English) JFM 63.0025.03
Verf. hat in einer früheren Arbeit (Trans. Amer. math. Soc. 40 (1936), 37-111; F. d. M. 62\(_{\text{I}}\), 33) gezeigt, daß die Booleschen Algebren als Ringe mit Einselement und lauter idempotenten Elementen aufgefaßt werden können. Der Zusammenhang zwischen den Booleschen Algebren einerseits und der formalen Logik der Aussagen andrerseits macht es dann wahrscheinlich, daß ein ähnliches formales System für die Aussagenlogik möglich sein muß. Verf. entwickelt nun in diesem Aufsatz ein solches System, das auf Ergebnissen von Leśniewski und B. A. Bernstein beruht.
Er betrachtet drei Operationen \(a + b\), \(a \cdot b\) und \(a'\), wobei \(a + b\) die Äquivalenz der Aussagen \(a\) und \(b\) bedeutet, \(a \cdot b\) ihre Disjunktion, \(a'\) die Negation von \(a\). Sechs Axiome und zwei Schlußregeln werden aufgestellt; außerdem definiert er unter anderm die Beziehung \(a = b\) als die Behauptung von \(a + b\).
Er beweist dann: 1) In bezug auf + und = bildet das System eine abelsche Gruppe, worin jedes Element die Ordnung 2 hat. 2) In bezug auf die Operationen + und \(\cdot\) und die Beziehung = bildet das System einen kommutativen Ring mit lauter idempotenten Elementen. 3) Sein letztes Axiom, die Negation betreffend, ist mit der Existenz eines Einselements gleichwertig. 4) Die Umkehrung, daß, wenn eine Gruppe bzw. ein Ring von der erwähnten Art ist, die Axiome gelten.
Zum Schluß beweist er vier logische Formeln und ein Schlußschema.
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