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Sur les matrices complètement non négatives et oscillatoires. (French) JFM 63.0038.04

Eine quadratische Matrix \(A\) vom Grade \(n\) heißt vollständig nichtnegativ (vollständig positiv), wenn alle Unterdeterminanten von \(A\) nichtnegativ (positiv) sind. Eine vollständig nichtnegative Matrix \(A\) heißt oszillatorisch, wenn eine positive Potenz \(A^k\) vollständig positiv ist. Diese Bezeichnung stammt von der Anwendung dieser Matrizen in der Theorie der Schwingungen mechanischer Systeme von \(n\) Massenpunkten. Die Eigenschaften dieser Matrizen werden in der vorliegenden Arbeit ausführlich untersucht. Ref. kann nur das Wichtigste herausgreifen: Die charakteristischen Wurzeln jeder oszillatorischen Matrix sind sämtlich verschieden und positiv; ebenso sind die charakteristischen Wurzeln einer vollständig nichtnegativen Matrix nichtnegativ. Ferner gilt das einen Satz von Frobenius verallgemeinernde Resultat: Sind in einer Matrix \(A\) alle Unterdeterminanten von einem Grade \(\leqq \, d\) nichtnegativ und in einer Potenz \(A^k\) die gleichen Unterdeterminanten alle positiv, so besitzt \(A\) \(d\) verschiedene positive charakteristische Wurzeln, die sämtlich größer sind als die absoluten Beträge der anderen Wurzeln.
Außer diesen Sätzen leiten die Verf. noch eine Reihe von Sätzen über die Unterdeterminanten und über die Eigenvektoren oszillatorischer Matrizen her.