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Lehrbuch der Gruppentheorie. Bd. I. (German) JFM 63.0058.03

Hamburger Mathematische Einzelschriften, Heft 21. Leipzig: B. G. Teubner. vi, 151 S. (1937).
Verf. stellt sich die Aufgabe, die während der letzten 15 Jahre in der Gruppentheorie erzielten Ergebnisse in einen systematischen Aufbau einzuordnen. Der Leitgedanke dieses Aufbaus, der auf Hölder zurückgeht, ist das Prinzip der homomorphen Abbildung, sein noch ungelöstes Hauptproblem die Bestimmung der einfachen endlichen Gruppen.
Daß sich Verf. in Auswahl und Behandlung des Stoffes eng an sein Programm hält, gibt dem Buch eine klare Linie und wird zur Besinnung der gruppentheoretischen Forschung auf eins ihrer Hauptziele beitragen. Was andererseits in diesen Aufbau eingeordnet wird, an Ergebnissen sowohl wie an noch ungeklärten Fragestellungen, ist überraschend viel. Der vorliegende erste Band, der der abstrakten Theorie der diskreten Gruppen, vor allem im Hinblick auf endliche Gruppen, gewidmet ist, streift die meisten Probleme dieses Gebiets, die in den letzten Jahren bearbeitet worden sind. Erwähnt seien die zahlreichen Aufgaben.
Kap. I enthält die Elemente der Gruppentheorie, Axiomatisches, die Komplexrechnung und den Satz von Frobenius über die Lösungen der Gleichung \(X^n = A\); hier vermißt man einen Hinweis auf die Arbeit von P. Hall [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 40, 468–501 (1935; JFM 61.1017.02)]. Kap. II entwickelt den Homomorphiebegriff für Gruppen mit Operatoren, den Jordan-Hölder-Schreierschen Satz, die auf Hall zurückgehende Theorie der höheren Kommutatorbildungen und einen Überblick über die aus der Algebra bekannten Gruppen (Moduln mit Operatoren, hyperkomplexe Systeme) und die vom Verf. eingeführten Fastringe. Kap. III handelt von der Konstruktion und Struktur zusammengesetzter Gruppen: Direkte Produktzerlegungen, abelsche Gruppen einschließlich Zusammenhang mit der Elementarteilertheorie, Ordnungsideale, die Schreiersche Erweiterungstheorie. In Kap. IV werden Sylowgruppen, \(p\)-Gruppen und direkte Produkte von \(p\)-Gruppen untersucht.
Das Schlußkapitel V ist der Theorie der Verlagerung gewidmet, die aus einem bekannten Satz von Burnside über monomiale Darstellungen entstanden ist und durch Anwendungsmöglichkeiten in der Klassenkörpertheorie neuen Antrieb erhalten hat; Verf. bespricht die Sätze von Burnside und Grün sowie den Hauptidealsatz.
Autoren- und Sachverzeichnis, kurzes Literaturverzeichnis.
[S. a. Zbl 0018.00901.]

MSC:

20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory