Sur les systèmes multiplicatifs. (French) JFM 63.0062.01

Borůvka, O.

C. R. Acad. Sci., Paris, 204, 1779-1781 (1937).

Verf. betrachtet Mengen \(M\), innerhalb welcher eine assoziative Multiplikation definiert ist. Er definiert, wenn \(A\) und \(B\) Untermengen von \(M\) sind, \(AB\) als die Menge aller \(ab\), wo \(a \in A\), \(b\in B\). Indem \(\frown \) und \(\smile\) bzw. Durchschnitt und Vereinigung bedeuten, setzt er \[ M^\alpha = M_\alpha \smile M^{\alpha+1}, \quad M_\alpha \frown M^{\alpha +1}= \text{ Nullmenge.} \] Dadurch bekommt \(M_\alpha\), wie er bemerkt, die Bedeutung der Menge aller Elemente von \(M\), die als Produkt von höchstens \(\alpha\) Elementen darstellbar sind; diese sind dann Primelemente, d. h. Elemente von \(M_1\).
Man hat entweder \(M^{\beta +1}= M^{\beta +2} =\cdots \) für ein gewisses \(\beta\) oder nicht. Im ersten Falle nennt er \(M^{\beta +1}\) den Kern des Systems. Weiter betrachtet er nun Systeme ohne Kern. Zu jedem Element \(a\) gehört ein Index \(\alpha\), die größte Anzahl Faktoren in \(a\). Ein System heißt homogen, wenn jedes Produkt von \(\alpha\) Primfaktoren vom Index \(\alpha\) ist. Verf. erwähnt \[ Z= \{\mathfrak z, \mathfrak z^2, \mathfrak z^3, \ldots \} \] als einfachste homogene Menge. Er beschäftigt sich weiter mit den homomorphen Abbildungen seiner Mengen auf \(Z\). So z. B: Eine Menge ist ohne Kern, wenn sie auf \(Z\) homomorph abbildbar ist. Er bespricht ein eineindeutiges Entsprechen zwischen den homomorphen Abbildungen auf \(Z\) und einer gewissen Einteilung von \(M_1\) in disjunkte Teile und macht zum Schlüsse darauf aufmerksam, daß die höheren Potenzen der nicht-homogenen Mengen einen speziellen Charakter haben.

Reviewer: Skolem, T., Prof. (V. Aker bei Oslo)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. A. Gruppen.