×

Hypergroups. (English) JFM 63.0063.01

Hypergruppe \(n\)-ter Dimension nennt Verf. ein System \(H\) von Elementen, in dem als Produkt zweier Elemente \(a\) und \(b\) ein durch \(a\) und \(b\) eindeutig bestimmter Komplex von \(n\) (nicht notwendig voneinander verschiedenen) Elementen definiert ist: \[ ab = c_1 + c_2 +\cdots + c_n. \] Das Produkt von mehr als zwei Elementen ist durch die Festsetzung erklärt, daß bei dieser Schreibweise ein formales distributives Gesetz für Rechts- und Linksmultiplikation gelten soll. Die Multiplikation sei assoziativ. Ferner gebe es mindestens ein Element \(e\), so daß für jedes \(a \subset H\) in \(ae\) und in \(ea\) mindestens je einmal \(a\) als Summand auftritt. Schließlich gebe es zu jedem \(a\subset H\) mindestens ein \(a^{-1}\) derart, daß sowohl \(aa^{-1}\) als auch \(a^{-1} a\) mindestens einmal \(e\) als Summand enthalten. Als Kern (nucleus) von \(H\) bezeichnet Verf. die (möglicherweise leere) Gesamtheit aller \(x \subset H\), für die \(xa\) und \(ax\) Summen von je \(n\) einander gleichen Elementen sind für jedes \(a \subset H\). Der Kern bildet eine gewöhnliche Gruppe, wenn man einen Komplex aus lauter gleichen Elementen mit diesem Element identifiziert.
Näher untersucht werden hauptsächlich Hypergruppen, deren Kern nicht leer ist. Als Beispiel einer Hypergruppe betrachtet Verf. unter anderm die Zerlegung einer gewöhnlichen Gruppe nach einem Doppelmodul. Die Komplexe sind hier formal unter Beachtung der Vielfachheit auszumultiplizieren.
Vgl. auch die von F. Marty eingeführten Hypergruppen (s. nachstehendes Referat).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI