On the Sylow systems of a soluble group. (English) JFM 63.0069.04

Hall, P.

Proc. London math. Soc. (2) 43, 316-323 (1937).

\(\mathfrak G\) sei eine auflösbare Gruppe der Ordnung \(p_1^{\alpha _1}\cdots p_r^{\alpha_r}\). Nach einem Satz des Verf. (J. London math. Soc. 3 (1928), 98-105; F. d. M. 54,145) gibt es zu jedem \(i\) eine Untergruppe \(\mathfrak S_i\) vom Index \(p_i^{\alpha_i}\), ein “\(p_i\)-Sylow-Komplement”. Das System der \(2^r\) Untergruppen von \(\mathfrak G\), die man aus \(\mathfrak G\) und den \(\mathfrak S_i\) durch wiederholte Durchschnittsbildung erhält, nennt Verf. ein Sylowsystem von \(\mathfrak G\). Ein Sylowsystem besteht aus \(E\), aus \(r\) paarweis im Frobeniusschen Sinn vertauschbaren Sylowgruppen zu den verschiedenen Primteilern \(p_\varrho\) und aus deren Produkten zu je zwei, je drei usw. In der vorliegenden Arbeit werden klassische Sätze über Sylowgruppen auf Sylowsysteme übertragen:
(1) Je zwei Sylowsysteme von \(\mathfrak G\) sind konjugiert in \(\mathfrak G\).
(2) Jedes Sylowsystem einer Untergruppe \(\mathfrak H\) von \(\mathfrak G\) läßt sich erzeugen, indem man die Durchschnitte von \(\mathfrak H\) mit den Gruppen eines geeigneten Sylowsystems von \(\mathfrak G\) bildet.
Als Anwendung folgt ein neuer Beweis für die Abschätzung der Automorphismenanzahl einer auflösbaren Gruppe (Garrett Birkhoff und Verf., Trans. Amer. math. Soc. 39 (1936), 496-499; JFM 62.0082.*) und der folgende Satz: Ist \(\mathfrak A\) eine auflösbare Gruppe von Automorphismen der auflösbaren Gruppe \(\mathfrak G\), und sind die Ordnungen von \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak G\) teilerfremd, so bleibt mindestens ein Sylowsystem von \(\mathfrak G\) bei \(\mathfrak A\) invariant.

Reviewer: Wielandt, H., Dr. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. A. Gruppen.

Citations:

JFM 62.0082.*