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Abelian groups without elements of finite order. (English) JFM 63.0074.02

Die in dieser Arbeit angewandten Methoden zum Studium von torsionsfreien abelschen Gruppen gründen sich auf die von Steinitz eingeführten \(G\)-Zahlen (J. reine angew. Math. 137 (1910), 167-309; F. d. M. 41, 445 (JFM 41.0445.*)), die als Verallgemeinerung der Prüferschen Höhenexponenten auftreten. Als Vielfachheit eines Elementes \(x(\neq 0)\) der Gruppe wird das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen \(n\) bezeichnet, für die \(x\) \(n\)-faches eines Gruppenelementes ist.
Ein großer Teil der Arbeit behandelt Fragen, die mit der direkten Zerlegbarkeit zusammenhängen. Vollständig reduzibel heißt eine Gruppe, wenn sie direkte Summe von Gruppen des Ranges 1 ist, und separabel, wenn jede endliche Menge von Gruppenelementen in einem vollständig reduziblen direkten Summanden enthalten ist. Es werden Bedingungen dafür angegeben, daß eine Gruppe vollständig reduzibel bzw. separabel ist, und dafür, daß eine separable Gruppe vollständig reduzibel ist; z. B. ist jede abzählbare separable Gruppe vollständig reduzibel. Ferner werden solche Untergruppen behandelt, für die gewisse direkte Zerlegungen der ganzen Gruppe eine vollständige Reduktion erzeugen.
Ein weiterer Teil der Arbeit beschäftigt sich mit den Automorphismen und den charakteristischen Untergruppen separabler Gruppen. Neben den gewöhnlichen charakteristischen Untergruppen werden auch noch die vollcharakteristischen betrachtet, d. h. diejenigen, die auch bei jeder homomorphen Abbildung der ganzen Gruppe auf eine Untergruppe in sich abgebildet werden. Es wird untersucht, wann es charakteristische Untergruppen gibt, die nicht vollcharakteristisch sind. In engem Zusammenhang damit steht die Frage, ob zwei Elemente, die in allen charakteristischen Untergruppen gleichzeitig enthalten bzw. nicht enthalten sind, isotyp sind, d. h. durch einen passenden Automorphismus aufeinander abgebildet werden. Isotype Elemente werden gekennzeichnet durch das Übereinstimmen gewisser mit Hilfe der Vielfachheiten gebildeter Zahlen.
Wegen der vielen interessanten, zum Teil jedoch umständlich zu formulierenden Ergebnisse muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.

Citations:

JFM 41.0445.*
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