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Representations induced in an invariant subgroup. (English) JFM 63.0076.04

\(\mathfrak H\) sei ein Normalteiler von \(\mathfrak G\), \(\mathfrak A_{\mathfrak G}\) eine irreduzible Darstellung von \(\mathfrak G\) in einem beliebigen Grundkörper \(P\), \(\mathfrak A_{\mathfrak H}\) die Darstellung von \(\mathfrak H\) in \(\mathfrak A_{\mathfrak G}\). Dann ist \(\mathfrak A_{\mathfrak H}\) vollständig reduzibel und enthält an irreduziblen Bestandteilen genau die zu einem von ihnen unter \(\mathfrak G\) konjugierten. Sind diese nicht alle gleich, so ist \(\mathfrak A_{\mathfrak G}\) imprimitiv; sind sie alle gleich und ist \(P\) algebraisch abgeschlossen, so ist \(\mathfrak A_{\mathfrak G}\) das direkte Produkt von zwei irreduziblen Kollineationsgruppen, von denen eine eine Darstellung von \(\mathfrak G/\mathfrak H\) ist.
Verf. untersucht dann die Frage, wann sich eine vorgelegte irreduzible Darstellung \(\mathfrak A_{\mathfrak G}^*\) von \(\mathfrak H\) in eine irreduzible Darstellung von \(\mathfrak G\) (desselben oder höheren Grades) einbetten läßt. Notwendig und hinreichend ist bei algebraisch abgeschlossenem Grundkörper, daß die größte Untergruppe \(\mathfrak G'\) von \(\mathfrak G\), bei der die Darstellung \(\mathfrak A_{\mathfrak H}^*\) invariant bleibt, unter \(\mathfrak G\) von endlichem Index ist und daß es zu einem gewissen aus \(\mathfrak G\) und \(\mathfrak A_{\mathfrak H}^*\) zu bestimmenden Faktorensystem eine Darstellung von \(\mathfrak G/\mathfrak H\) durch Kollineationen gibt. Über diesen Satz hinaus wird die Gesamtheit aller möglichen Einbettungen von \(\mathfrak A_{\mathfrak H}^*\) untersucht, insbesondere für den Fall, daß \(\mathfrak G/\mathfrak H\) von endlicher Ordnung und zyklisch ist.
Einige Ergebnisse werden zum Schluß auf halblineare Darstellungen übertragen.

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