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Moderne Algebra. Bd. I. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. 2. verbesserte Aufl. (German) JFM 63.0082.06
Berlin: J. Springer, x, 272 S. (1937).
Da die erste Auflage dieses Werkes einer ausführlichen Besprechung unterzogen wurde (1930; JFM 56.0138.01), will Ref. hier nur auf die Dinge eingehen, die in der zweiten Auflage des ersten Bandes neu oder abweichend von der ersten Auflage behandelt werden.
Das Kap. I über Zahlen und Mengen ist im wesentlichen unverändert geblieben; auch Kap. II über Gruppen hat keine Änderung erfahren, außer daß ein neuer Abschnitt über das Rechnen mit Komplexen einer Gruppe hinzugefügt wurde. Dagegen ist in das Kap. III über Ringe und Körper ein Abschnitt über Vektorräume und hyperkomplexe Systeme aus dem zweiten Bande übernommen worden, in dem die Grundeigenschaften dieser Systeme angegeben werden; ferner ist der Abschnitt über Hauptidealringe auf euklidische Ringe ausgedehnt worden, wodurch auch die Frage der Faktorzerlegung in einem Integritätsbereich eine allgemeinere Behandlung finden konnte. Kap. IV über ganzrationale Funktionen ist durch zwei aus dem zweiten Band übernommene Abschnitte über die Resultante zweier Polynome und einen über die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktionen verstärkt, zu dem Zwecke, im ersten Band des Werkes ein vollständiges Lehrbuch der elementaren Algebra für Anfänger zu geben.
Die Erweiterung von Kap. III läßt eine neue allgemeinere Behandlung der Körpertheorie in Kap. V zu, das so weit wie irgend möglich alle Ergebnisse auf Schiefkörper verallgemeinert. Die beiden folgenden Kapitel VI (Fortsetzung der Gruppentheorie) und VII (Die Theorie von Galois) sind unverändert geblieben.
Dagegen ist Kap. VIII über geordnete und wohlgeordnete Mengen ausgefallen” da Verf. bedenkliche Schlußweisen in der Algebra möglichst zu vermeiden wünscht. Daher ist die Körpertheorie in der neuen Auflage vollkommen finit begründet, so daß auch vom intuitionistischen Standpunkte aus der Aufbau der Theorie einwandfrei ist. In Kap. VIII (früher IX) über unendliche Körpererweiterungen ist der Abschnitt über reine transzendente Erweiterungen aus Kap. V übernommen worden; ferner baut ein neuer Abschnitt über Differentiation der algebraischen Funktionen die Lehre von der Differentiation weiter aus.
Kap. IX (früher X) über reelle Körper ist wesentlich neugestaltet, da das Wohlordnungsprinzip nicht mehr angewendet wird. Dadurch werden beispielsweise alle Existenzsätze auf den Sonderfall abzählbarer formalreeller Körper abgeschwächt. Die Entwicklung der Bewertungstheorie hat den Verf. veranlaßt, um sein Werk auf der Höhe der Zeit zu halten, ein neues, die Grundlagen dieser Theorie ausführlich behandelndes Kap. X anzuschließen, das in der ersten Auflage nur durch einen kurzen Abschnitt im Kap. X vertreten war.

MSC:
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
13-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
20-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to group theory
00A05 Mathematics in general