Über die Idealklassenzahl total definiter Quaternionenalgebren. (German) JFM 63.0093.02

Eichler, M.

Math. Z. 43, 102-109 (1937).

Wie Verf. in der vorstehend besprochenen Arbeit gezeigt hat, stimmt die Idealklassenzahl einer normalen einfachen Algebra \(\mathfrak Q\) über einem algebraischen Zahlkörper \(k\) höchstens dann nicht mit der Idealklassenzahl von \(k\) überein, wenn \(k\) total reell und \(\mathfrak Q\) eine total definite (d. h. an allen unendlichen Primstellen von \(k\) verzweigte) Quaternionenalgebra ist. Für diesen Fall liefert die analytische Zahlentheorie folgende Formel: \[ \frac{2h_0\zeta _0(2)\,|\,D_0\,|^{\frac{3}{2}}}{(2\pi )^{2n}}\textstyle \prod\limits_{\mathfrak p|\mathfrak d}(N\mathfrak p-1)=\sum\limits_{i=1}^{h}\frac{1}{w_{\mathfrak Ii}}. \] Dabei bedeuten \(h_0\) die Klassenzahl, \(\zeta _0\) die \(\zeta \)-Funktion, \(D_0\) die Diskriminante von \(k\) und \(\mathfrak d\) die Diskriminante von \(\mathfrak Q/k\); \(w_{\mathfrak I}\) ist der endliche Index der Einheitengruppe von \(k\) in der einer Maximalordnung \(\mathfrak I\) von \(\mathfrak Q\), und \(\mathfrak I_i\). durchläuft die Rechtsordnungen eines Repräsentantensystems der Linksidealklassen für eine feste Maximalordnung. Im allgemeinen erhält man daraus noch nicht die Klassenzahl \(h\) von \(\mathfrak Q\); ist jedoch \(k\) der Körper der rationalen Zahlen, so ermöglicht diese Formel sogar die genaue Bestimmung von \(h\), und zwar ergibt sich, daß \(h\) nur von den Diskriminantenteilern von \(\mathfrak Q\) in einfacher Weise abhängt.

Reviewer: Reichardt, H., Dr. (Leipzig)

JFM Section:

Erster Halbband. Dritter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 5. Gruppentheorie. Abstrakte Algebra. B. Ringe, Körper.