×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur l’équation \(y^2=x^3-Ax-B\) dans les corps \(\mathfrak p\)-adiques. (French) JFM 63.0101.01
Es handelt sich um die Struktur der Gruppe \(\mathfrak G\) aller im \(\mathfrak p\)-adischen Grundkörper \(k_{\mathfrak p}\) rationalen Lösungen \((a, b)\) der Gleichung \(y^2=x^3-Ax-B\) (oder anders ausgedrückt, der Gruppe der Divisorenklassen nullten Grades des durch die Gleichung erzeugten elliptischen Funktionenkörpers über \(k_{\mathfrak p}\)).
Ist \(\pi \) ein Primelement zu \(\mathfrak p\) in \(k_{\mathfrak p}\), so hat jede solche Lösung \((a, b)\) die Form (\(\alpha \pi ^{-2n}\), \(\beta \pi ^{-3n})\), wobei \(n\geqq 0\) ist und \(\alpha \) und \(\beta \) ganze Zahlen aus \(k_{\mathfrak p}\) sind, die, wenn \(n > 0\), prim zu \(\mathfrak p\) sind. \(n\) ist somit durch die Lösung eindeutig bestimmt. Alle Lösungen mit \(n\geqq m\) (\(m > 0\), fest) bilden eine Untergruppe \(\mathfrak G_m\) von endlichem Index in \(\mathfrak G\). Durch geeignete Parameterdarstellung der rationalen Lösungen \((a, b)\) ergibt sich weiter: Ist für \(p\not=2\;m>\dfrac{e}{4}\) (\(e\) die Verzweigungsordnung von \(p\) in \(k_{\mathfrak p}\)), für \(p = 2\;m\geqq e\), so ist \(\mathfrak G_m\) isomorph mit der additiven Gruppe aller ganzen \(\mathfrak p\)-adischen Zahlen. Daraus folgt insbesondere für \(e = 1\): Hat eine Lösung als Element von \(\mathfrak G\) endliche Ordnung, so sind ihre Koordinaten \(a\) und \(b\) ganze \(\mathfrak p\)-adische Zahlen, und dasselbe ergibt sich daraus sofort für den gewöhnlichen rationalen Zahlkörper als Grundkörper. Genauer gilt hier, daß für eine Lösung endlicher Ordnung \(y^2\) null oder ein Teiler der Diskriminante \(4A^3-27\;B^2\) sein muß.
Zum Schluß werden einige der Resultate noch einmal mit Hilfe der von A. Weil (C. R. Acad. Sci., Paris, 203 (1936), 22-24; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 119) eingeführten \(\mathfrak p\)-adischen elliptischen Funktionen abgeleitet. Hierbei ergibt sich statt der oben genannten Schranke \(m>\dfrac{e}{4}\) die für \(p\geqq 7\) bessere Schranke \(m>\dfrac{e}{p-1}\).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Crelle EuDML