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A remark on the class field tower. (English) JFM 63.0144.03

Die \(l\)-Klassengruppe (l eine Primzahl) eines Zahlkörpers \(K\) ist die aus allen Klassen der Ordnung \(l^n\) (\(n \geqq 0\)) bestehende Untergruppe der absoluten Idealklassengruppe von \(K\); analog ist der vollständige \(l\)-Klassenkörper (im folgenden kurz der \(l\)-Klassenkörper) der größte Unterkörper des vollständigen absoluten Klassenkörpers, dessen Grad eine Potenz von \(l\) ist, dessen Gruppe also der \(l\)-Klassengruppe isomorph ist. Über das Verhalten des \(l\)-Klassenkörperturms haben in speziellen Fällen A. Scholz und die Verf. (J. reme angew. Math. 171 (1934), 19-41; JFM 60.0126.*) eine Reihe von Ergebnissen gewonnen, und zwar auf größtenteils rein gruppentheoretischem Wege im Gegensatz zu dem auf mehr arithmetischem Wege gewonnenen Ergebnis von P. Furtwängler (Mh. Math. Phys. 27 (1916), 1-15; F. d. M. 46, 246 (JFM 46.0246.*)), das folgendes besagt: Hat die 2-Klassengruppe von \(K\) die Ordnung 4, so bricht der 2-Klassenkörperturm mit dem zweiten Klassenkörper (d. h. dem 2-Klassenkörper des 2-Klassenkörpers) ab. Die Verf. liefert hierfür einen neuen, rein gruppentheoretischen Beweis, indem sie zeigt: Ist \(\mathfrak G\) eine 2-Gruppe und die Faktorgruppe der Kommutatorgruppe \(\mathfrak G/\mathfrak G'\) vom Typus \((2,2)\), so ist \(\mathfrak G'/\mathfrak G''\) zyklisch und somit \(\mathfrak G'' = 1\). Zusammen mit der Tatsache, daß, falls die \(l\)-Klassengruppe von \(K\) zyklisch ist, schon der \(l\)-Klassenkörper die \(l\)-Klassenanzahl 1 hat, folgt hieraus sofort der oben genannte Satz.

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