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Über singuläre Zahlensysteme. (German) JFM 63.0150.03

Ein System von \(n\) Zahlen heißt singular, wenn ihm die folgende Eigenschaft zukommt: \(\varTheta_1, \varTheta_2, \ldots, \varTheta_n\), sind linear unabhängige reelle Zahlen, derart, daß für jedes \(\varepsilon > 0\) und jedes \(\lambda > \lambda_0 = \lambda_0(\varepsilon)\) die Ungleichungen \[ |q\varTheta_i-p_i| < \frac 1\lambda \quad (i = 1, \ldots, n) \] mit \(0 < q < \varepsilon \lambda^n\) gelöst werden können. In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß die singulären Systeme und nur diese noch die folgende Bedingung erfüllen: Zu jedem singulären System \(\varTheta_1, \varTheta_2, \ldots, \varTheta_n\) gibt es reelle \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\), so daß die Ungleichungen \[ |q\varTheta_i-p_i - \alpha_i| < Cq^{-\tfrac 1n} \quad (i=1,\ldots,n), \] wie groß auch \(C\) sei, höchstens eine endliche Anzahl von Lösungen besitzen. – Für \(n=1\) sind nur die rationalen Zahlen singular; für \(n > 1\) genügt jedes linear abhängige System trivialerweise der Singularitätseigenschaft. Der Beweis wird für \(n = 2\) durchgeführt. Schließlich wird noch gezeigt, daß für jedes \(n\) die Menge der singulären Systeme das Maß Null hat.
Zentralblatt MATH review: Zbl 0016.29201

MSC:

11J25 Diophantine inequalities

Citations:

Zbl 0016.29201
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Full Text: EuDML