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Sur les théorèmes inverses des procédés de sommabilité. (French) JFM 63.0169.02

(La théorie des fonctions VI.) 47 p. Actual. sci. industr. 450 (1937).
Die überaus reichhaltige Schrift bringt eine Fülle wertvoller Beweisideen, Anregungen und Vermutungen, die eine gesonderte Betrachtung lohnen würden; das Referat muß aber auf alle derartigen Einzelfragen verzichten und sich darauf beschränken, die vom Verf. gezeichneten Grundlinien zu nennen.
An den bekannten Tauberschen Umkehrsatz (Mh. Math. Phys. 8 (1897), 273-277; F. d. M. 28, 221 (JFM 28.0221.*)) hat sich eine reiche Literatur angeschlossen (die zu besprechende Arbeit nennt und verwertet weit über 100 Schriften), und für die verschiedensten Verfahren sind Umkehrsätze mit mannigfach abgeänderten Konvergenzbedingungen bewiesen worden. Doch erst der Verf. hat allgemeine Sätze geben können, die einen großen Teil der eben angedeuteten Ergebnisse vereinheitlichen und deren Beweis über die besondere Struktur der eingeschlossenen Verfahren nichts voraussetzt (siehe die nachstehend besprochene Arbeit). In der vorliegenden Monographie, der ersten über dieses Gebiet, werden ähnliche Sätze entwickelt und an Beispielen beleuchtet.
Ausgehend von den elementaren Umkehrsätzen für die Cesàroschen, die Rieszschen und für das Abelsche Verfahren und unter Verwendung gewisser Untersuchungen von Wiener und Kienast wird in Kap. I der diese Ergebnisse enthaltende allgemeine Umkehrsatz gewonnen: \(\varphi(x, t)\) sei eine für \(x\geqq 0\) und \(t\geqq 0\) positive stetige Funktion und genüge den Bedingungen
\(\varphi (x, 0)=1;\quad \varphi(x, t)\to 1\quad \text{ für jedes } \quad t>0 \quad \text{ und } \quad x\to\infty\);
\(\varphi (x, t) \text{ \;wächst nicht für \;} t\to\infty \text{ \;von einem bestimmten \;} x \text{ \;ab.}\)
\(\varLambda (x)\) sei eine für \(x\to\infty\) monoton gegen \(+\infty\) strebende, stetige Funktion derart, daß bei \(\lambda(x) - \log\varLambda (x)\) und geeignet gewähltem \(y\) \[ \lambda(y) - \int\limits_0^y \varphi(x,t)\,d\{\lambda(t)\} = O(1) \quad \text{ sowie } \quad \int\limits_y^{\infty} \varphi(x,t)\,d\{\lambda(t)\} = O(1) \] für \((x, y) \to\infty\) ist. Aus der \(\varPhi\)-Limitierbarkeit von \(s (t)\) zum Werte \(s\), d. h. aus \[ \varPhi(x) = \int\limits_0^{\infty} \varphi(x,t)\,d\{s(t)\} \to s \quad \text{ für } \quad x\to\infty \] folgt dann \(s (x) \to s\), falls die Konvergenzbedingung \[ \int\limits_0^x \varLambda(t)\,d\{s(t)\} = O\{\varLambda(x)\} \quad \text{ für } \quad x\to\infty \tag{1} \] erfüllt ist.
Man erkennt leicht, daß die bei Reihen \(\sum a_n\) der Beziehung (1) entsprechende Bedingung bzw. daß die Bedingung (1) selbst erfüllt ist, wenn \[ u_n=o\bigg(\dfrac{1}{n}\bigg) \quad \text{ bzw. } \qquad \text{(2b)} \qquad \text{ \qquad }s(x) =0 \bigg\{\dfrac{\varLambda'(x)}{\varLambda(x)}\bigg\} \tag{2a} \] für \(n\) und \(x\to\infty\) ist. Das Landausche Ergebnis, daß aus der Abelschen Summierbarkeit einer Reihe ihre Konvergenz folgt, falls \(u_n =O\bigg(\dfrac{1}{n}\bigg)\) ist, legt dann die in Kap. II behandelte Frage nahe, ob (1) oder (2b) durch die entsprechende \(O\)-Bedingung ersetzt werden kann. Mit einem Beispiel wird belegt, daß diese Frage verneinend beantwortet werden muß; für die Umkehrung muß vielmehr neben der \(O\)-Bedingung vorausgesetzt werden, daß für ein aus dem Transformationskern \(\varphi(x, t)\) sich ergebendes \(f (t)\) \[ \int\limits_0^{\infty} f(t) t^{i\alpha}\,dt \neq 0 \quad \text{ bei jedem reellen } \alpha \tag{3} \] gilt. Für Limitierungsverfahren der Gestalt \[ \varPsi(x) = \int\limits_0^{\infty} \psi(x,t) s(t)\,dt \tag{4} \] ergibt sich dann der tiefliegende Umkehrsatz, den der Verf. in seiner Hamburger Veröffentlichung bewiesen hat und der im nachstehenden Referat aufgeführt ist. Der Beweis verläuft in drei Stufen (die umfänglichen Voraussetzungen über \(\psi (x, t)\) und \(\varLambda (t)\) werden hier nicht genannt):
1) Aus \(\varPsi (x) = O(1)\) folgt \(s (x) = O(1)\), falls \(\int\limits_o^x \varLambda(t)\, d\{s(t)\} = O(\varLambda(x))\) oder \[ s (x) - s (x') = O (1)\;\text{ für } \quad x\leqq x'\leqq V(\lambda\cdot\varLambda(x)) \] ist, wo \(V (x)\) die inverse Funktion zu \(\varLambda (x)\) bedeutet. 2) Jedem Verfahren der Form (4) wird mit Hilfe eines geeignet bestimmten \(\varLambda (x)\) in \[ R(x) = \dfrac{1}{\varLambda(x)} \int\limits_0^x s(t)\,d\{\varLambda(t)\} \] ein Rieszsches Verfahren derart zugeordnet, daß mit \(\psi (x) \to s\) auch \(R (x)\to s\) strebt, falls (3) für ein aus \(\psi (x, t)\) sich ergebendes \(f (x)\) gilt. 3) Aus \(R(x) \to s\) folgt \(s (x)\to s\) unter der Konvergenzbedingung \[ \underset{x\to\infty} {\lim\sup} \max\limits_{x\leqq x'\leqq X} |s(x')-s(x)|<w(\lambda{)} 0 \text{ \;für \;} \lambda 1-0 \text{ \;und \;} X=V(\lambda\varLambda(x)). \tag{5} \]
Kap. III bringt den noch allgemeineren Umkehrsatz, der demjenigen des Abelschen Verfahrens mit der Konvergenzbedingung \(u_n > O\bigg(\dfrac{1}{n}\bigg)\) entspricht und im wesentliehen aus dem Satz des Kap. II hervorgeht, wenn statt (5) die Beziehung \[ \underset{x\to\infty} {\lim\inf} \max\limits_{x\leqq x'\leqq X} \{s(x')-s(x)\}>-w(\lambda{)} 0 \text{ \;für \;} \lambda 1-0 \text{ \;und \;} X=V(\lambda\varLambda(x)) \tag{6} \] gesetzt wird. Noch andere Konvergenzbedingungen werden unter Hinweis auf die einschlägige Literatur genannt.
Ersichtlich ist bei der Anwendung all dieser Sätze auf ein bestimmtes Verfahren die Bestimmung der unter den Voraussetzungen zugelassenen Funktionen \(\varLambda (x)\) sehr wesentlich, die durch die Stärke ihres Wachstums die Konvergenzbedingungen und die dem Ausgangsverfahren zuzuordnenden Rieszschen Verfahren bestimmen. Mit Hilfe dieser Funktionen läßt sich dann die jeweilige Konvergenzbedingung unmittelbar mit dem Cauchyschen Konvergenzkriterium vergleichen.

Citations:

JFM 28.0221.*