×

zbMATH — the first resource for mathematics

Note on the transfinite diameter. (English) JFM 63.0191.01
Von R. Nevanlinna wurde folgende Vermutung ausgesprochen: Wenn das \(h\)-Maß einer beschränkten und abgeschlossenen ebenen Punktmenge \(\varGamma\) endlich ist für eine Maßfunktion \(h\), für welche das Integral \[ \int\limits_0^k\dfrac{h(t)}{t}dt \qquad (k>0) \] divergiert, so ist der transfinite Durchmesser (die Kapazität) von \(\varGamma\) null (Mh. Math. Phys. 43 (1936), 435-447 (JFM 62.0260.*), insbes. S. 438). Hier wird nun bewiesen, daß diese Vermutung für die spezielle Maßfunktion \(h(t) = 1:\log\dfrac{1}{t}\) zutrifft. Der Beweis wird für lineare Mengen im Intervall \(\langle 0,1\rangle\) durchgeführt, er gilt aber, wie die Verf. am Schluß bemerken, mit geringfügigen Abänderungen auch für beschränkte, abgeschlossene Punktmengen im \(R_n\). Als Korollar eines Hilfssatzes ergibt sich nebenbei nochmals die von J. W. Lindeberg auf anderem Wege festgestellte Tatsache, daß das Verschwinden dieses (logarithmischen) \(h\)-Maßes hinreichend für das Verschwinden des transfiniten Durchmessers ist (Ann. Acad. Sci. Fennicae A 11 (1928), Nr. 6; F. d. M. 46, 525 (JFM 46.0525.*)).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI