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Some theorems on orthogonal systems. (English) JFM 63.0202.01

Es sei \(\{(\varphi_n(x)\}\) (\(n=1,2,3,\ldots\)) ein beliebiges System in \((a, b)\) orthogonaler und normierter (reeller) Funktionen, also \[ \int\limits_a^b\varphi_m\varphi_n\, dx =\begin{cases} 0 &\text{ für } m\neq n\\ 1 &\text{ für } m = n.\end{cases} \tag{1} \] Zufolge dieser Gleichungen muß \(\varphi_n\in L^2(a, b)\) gelten.
Um sicher zu sein, daß die Fourierkoeffizienten \[ c_n = \int\limits_a^bf\varphi_n\, dx \qquad (n=1,2,\ldots) \tag{2} \] einer Funktion \(f(x)\) bzgl. \(\{\varphi_n\}\) existieren, ist dann \(f\in L^2(a, b)\) anzunehmen. Diese Voraussetzung kann beträchtlich gemildert werden, wenn über die \(\varphi_n\) einschränkendere Voraussetzungen gemacht werden; insbesondere genügt es, \(f\in L(a, b)\) anzunehmen, wenn die \(\varphi_n\) gleichmäßig beschränkt sind. Für den letzteren Fall kennt man eine Reihe von Sätzen über die \(c_n\), welche die Besselsche Ungleichung und den Riesz-Fischerschen Satz verallgemeinern. In der vorliegenden Arbeit werden entsprechende Untersuchungen für einen etwas allgemeineren Fall durchgeführt, und zwar wird vorausgesetzt, daß die \(\varphi_n\) für ein \(\nu > 2\) Ungleichungen \[ \left(\int\limits_a^b|\varphi_n|^\nu\, dx\right)^{\tfrac{1}{\nu}}\leqq M_n \qquad (n=1,2,\ldots) \tag{3} \] mit endlichen \(M_n\) genügen. (Für \(\nu = \infty\) wird die linke Seite die wesentliche obere Grenze von \(|\varphi_n|\).) Unter diesen Voraussetzungen existieren die Fourierkoeffizienten (2) für jedes \(f\in L^\mu (a, b)\), wobei \(\mu\) (wie weiterhin stets) die zu \(\nu\) in der Beziehung \(1/\mu + 1/\nu = 1\) stehende Zahl \((1\leqq\mu < 2)\) sein soll.
1) In Verallgemeinerung bekannter Resultate von F. Riesz (Math. Z. 18 (1923), 117-124; F. d. M. 49, 292 (JFM 49.0292.*)) werden zunächst die beiden folgenden Sätze bewiesen:
(a) Es sei \(\mu\leqq p\leqq 2\) und \(q\) durch \(\mu /p + (2 - \mu)/q = 1\) bestimmt. Dann besteht stets die Beziehung \[ \left(\sum\limits_{n=1}^\infty M_n^{2-q}|c_n|^q\right)^{\tfrac{1}{q}}\leqq\left(\int\limits_a^b |f|^p dx\right)^{\tfrac{1}{p}}. \tag{4} \] (b) Es sei \(1\leqq p\leqq 2\) und \(q\) durch die Gleichung \((2 - \mu)/p + \mu /q = 1\) bestimmt. Sind die Reihen \(\sum |c_n|^pM_n^{2-p}\) und \(\sum |c_n|^2\) beide konvergent, so gibt es eine Funktion \(f\in L^q(a, b)\) mit den Fourierkonstanten \(c_n\), und es gilt \[ \left(\int\limits_a^b |f|^q dx\right)^{\tfrac{1}{q}}\leqq \left(\sum\limits_{n=1}^\infty M_n^{2-p}|c_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}. \tag{5} \] (Anschließend finden sich Bemerkungen zu der Frage, wie weit die Voraussetzung der Konvergenz der beiden Reihen \(\sum |c_n|^pM_n^{2-p}\) und \(\sum |c_n|^2\) für das Bestehen des Satzes unentbehrlich ist.) – Für \(\nu = \infty (\mu =1)\) und \(M_1 = M_2 = \cdots\) gehen die beiden Sätze in die genannten Resultate von F. Riesz über.
2) Weiter wird die Verallgemeinerung zweier Sätze von R. E. A. C. Paley (Studia math., Lwów, 3 (1931), 226-238; JFM 57.0335.*) gegeben: Das Funktionensystem \(\{\varphi_n\}\) erfülle Ungleichungen (3), wobei für die Konstanten \(M_n\) \[ M_1\leqq M_2\leqq\cdots\leqq M_n\leqq\cdots \tag{6} \] gelte. (a) Es sei \(2\leqq q < \nu\) und \[ \sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|^qM_n^{\tfrac{\nu}{\nu -2}(q-2)} n^{\tfrac{\nu -1}{\nu-2}(q-2)} \quad \text{konvergent}. \tag{7} \] Dann gibt es eine Funktion \(f\in L^q(a, b)\) mit den Fourierkonstanten \(c_n\), für die \[ \left(\int\limits_a^b|f|^q dx\right)^{\tfrac{1}{q}}\leqq A_{q,\nu} \left(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|^q M_n^{\tfrac{\nu}{\nu -2}(q-2)} n^{\tfrac{\nu -1}{\nu-2}(q-2)}\right)^{\tfrac{1}{q}} \tag{8} \] gilt; dabei hängt \(A_{q,\nu}\) nur von \(q\) und \(\nu\) ab, und überdies gilt mit einer absoluten Konstanten \(A\) \[ A_{q,\nu}\leqq A\dfrac{\nu -2}{\nu -q}\cdot q, \] wenn unter \(A_{q,\nu}\) die kleinste, (8) für alle zulässigen \(\{c_n\}\) erfüllende Zahl verstanden wird. (b) Es sei \(\mu < p\leqq 2\) und \(f\in L^p(a, b)\). Dann erfüllen die Fourierkonstanten \(c_n\) von \(f\) bzgl. \(\{\varphi_n\}\) die Ungleichung \[ \left(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|^pM_n^{\tfrac{\nu}{\nu -2}(p-2)} n^{\tfrac{\nu -1}{\nu-2}(p-2)}\right)^{\tfrac{1}{p}}\leqq B_{p,\nu} \left(\int\limits_a^b|f|^p dx\right)^{\tfrac{1}{pq}}, \tag{9} \] wobei \(B_{p,\nu}\) nur von \(p\) und \(\nu\) abhängt und überdies \(B_{p,\nu} = A_{q,\nu}\) gesetzt werden kann, wenn \(p\) und \(q\) vermöge \(1/p + 1/g = 1\) verknüpft sind. -Hervorgehoben wird noch der Sonderfall \(M_1 = M_2 =\cdots\), in dem die vorstehenden Sätze die in 1) genannten umfassen. Ist überdies \(\nu = \infty\), so erhält man die Sätze von Paley (a. a. O.).
3) Ebenfalls in Verallgemeinerung eines Satzes von Paley (a. a. O.) und in gewisser Hinsicht als Ergänzung des Satzes (a) unter 2) wird bewiesen: Es sei \(q > 2\), und es gelte (6) und (7). Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe \(\sum\limits_{n=1}^\infty c_n\varphi_n\) fast überall. Ist \(\sum\limits_{k=1}^\infty c_{n_k}\varphi_{n_k}\) irgend eine Umordnung und \[ S^*(x) = \underset{k}{\text{Max}}\left|\sum\limits_{i=1}^k c_{n_i}\varphi_{n_i}(x)\right|, \] so gilt \[ \left(\int\limits_a^bs^{*q}dx\right)^\tfrac{1}{q}\leqq A^*_{q,\nu}\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|^qM_n^{\tfrac{\nu}{\nu -2}(q-2)}n^{\tfrac{\nu -1}{\nu -2}(q-2)}, \tag{10} \] wo \(A^*_{q,\nu}\) nur von \(q\) und \(\nu\) abhängt
4) Schließlich werden zwei Sätze bewiesen, die aus den in 2) genannten hervorgehen, wenn die Funktion \(f\) und die Konstanten \(c_n\) ihre Rollen vertauschen. Sie lauten, auf das Intervall \((0, \infty)\) zugeschnitten, wenn mit \(f^*\) die in \((0, \infty)\) mit \(|f|\) “maßgleiche” (equimeasurable; vgl. z. B. A. Zygmund, Trigonometrical series, 1935 (JFM 61.0263.*), S. 207) und nichtzunehmende Funktion bezeichnet wird: (a) Es sei \(q\geqq 2\) und \(f(x)\) in \((0, \infty)\) definiert. Die Fourierkonstanten \(c_n\) von \(f\) bzgl. \(\{\varphi_n\}\) erfüllen die Ungleichung \[ \left(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|^qM_n^{2-q}\right)^\tfrac{1}{q}\leqq\tilde{A}_{q,\mu} \left(\int\limits_0^\infty f^{*q}x^\tfrac{q-2}{\mu}dx\right)^\tfrac{1}{q}, \] wobei die Konstante \(\tilde{A}_{q,\mu}\) nur von \(q\) und \(\mu\) abhängt und überdies \(\tilde{A}_{q,\mu}\leqq Aq/(2-\mu)\) mit einer absoluten Konstanten \(A\) gilt. (b) Es sei \(1\leqq p\leqq 2\), und die beiden Reihen \(\sum |c_n|^pM_n^{2-p}\) und \(\sum |c_n|^2\) seien konvergent. Dann gibt es eine Funktion \(f\) mit den Fourierkonstanten \(c_n\), für die \[ \left(\int\limits_0^\infty f^{*p}x^\tfrac{p-2}{\mu}dx\right)^\tfrac{1}{p}\leqq \tilde{B}_{p,\mu}\left(\sum\limits_{n=1}^\infty |c_n|^pM_n^{2-p}\right)^\tfrac{1}{p} \] gilt. Dabei hängt \(\tilde{B}_{p,\mu}\) nur von \(p\) und \(\mu\) ab, und überdies kann \(\tilde{B}_{p,\mu} = \tilde{A}_{q,\mu}\) gesetzt werden, wenn \(p\) und \(q\) in der Beziehung \(1/p + 1/q = 1\) stehen. – Verf. bemerkt noch, daß zu Satz (a) eine analoge Ergänzung existiert, wie sie 3) für Satz (a) unter 2) darstellt. Dabei übernehmen die Zahlen \[ C_n^* = \underset{\xi,\eta}{\text{Max}}\left|\int\limits_\xi^\eta f\varphi_n\, dx\right| \qquad (0 <\xi < \eta < \infty) \] die Rolle der Funktion \(S^*(x)\).

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