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Über isomorphe vollständige Funktionensysteme. (German) JFM 63.0205.01
Zwei orthogonale Funktionensysteme mit derselben Multiplikationstabelle heißen nach Haar (Math. Z. 31 (1930), 769-798; JFM 56.0942.*) isomorph. Mittels einer maßtreuen Abbildung der Menge \(\mathfrak{M}\) auf eine andere Menge \(\mathfrak{M}'\) geht das orthogonale Funktionensystem \(\psi_1(s), \psi_2(s), \psi_3(s),\ldots\) in ein mit ihm isomorphes auf \(\mathfrak{M}'\) definiertes \(\psi_1'(s'), \psi_2'(s'), \psi_3'(s'),\ldots\) über. Verf. zeigt nun, daß auch die Umkehrung gilt: Sind auf \(\mathfrak{M}\) und \(\mathfrak{M}'\) je ein aus beschränkten Funktionen bestehendes vollständiges Funktionensystem \(\{\psi (s)\}\) bzw. \(\{\psi'(s')\}\) gegeben, die einander isomorph sind, so kann man zwischen denjenigen Teilmengen von \(\mathfrak{M}\) und \(\mathfrak{M}'\), die meßbar oder Vereinigungsmengen abzählbar vieler meßbarer Mengen sind, eine eineindeutige maßtreue Zuordnung herstellen. Die Eigenschaften dieser Zuordnung werden untersucht. Z. B. führt Komplementärmengenbildung, Summen- bzw. Durchschnittsbildung wieder auf zugeordnete Mengen. Weiter wird eine die Mengenabbildung erzeugende Punktabbildung hergestellt. Schließlich werden die Untersuchungen auf allgemeinere Integralbegriffe ausgedehnt.
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