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Über in sich abgeschlossene Funktionensysteme. (German) JFM 63.0205.02
Verf. untersucht die in sich abgeschlossenen Funktionensysteme. (Vgl. die Definition im vorletzten Referat.) Ein einfaches Beispiel eines solchen Systems bilden die Funktionen \(\cos\, 4\pi ns\), \(\sin\, 4\pi ns\) (\(n = 0, 1, 2, 3,\ldots\)). Der Begriff der Abgeschlossenheit kann noch dadurch erweitert werden, daß das Stieltjes-Lebesguesche Integral wie folgt ersetzt wird: \(\mathfrak{M}\) sei eine Grundmenge. \(\mathfrak{K}\) sei eine solche Klasse von auf \(\mathfrak{M}\) definierten reellen Funktionen, welche mit \(f\) auch \(|f|\), \(cf\) (\(c= \) Konstante) und mit \(f_1\) und \(f_2\) auch \(f_1 + f_2\) enthält. Weiter sei eine Funktionaloperation \(I[f]\) gegeben, die jedem \(f\) aus \(\mathfrak{K}\) eine Zahl zuordnet und linear, positiv und abgeschlossen ist. Offenbar ist \(\int\limits_{\mathfrak{M}}f\) ein solches \(I[f]\).
Die Klasse \(\mathfrak{K}\), zu der ein solches \(I\) gegeben ist, soll nun integrierbar heißen. Verf. zeigt nun, daß \(I[f]\) diejenigen Eigenschaften des Integrals hat, die zur Übertragung der Sätze für die abgeschlossenen Systeme erforderlich sind. Auch im Begriff der Isomorphie (vgl. vorstehendes Referat) kann das Integral durch \(I[f]\) ersetzt werden.
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