Two theorems on trigonometrical series. (English) JFM 63.0208.01

Marcinkiewicz, J.; Zygmund, A.

Rec. math., Moscou, (2) 2, 733-738 (1937).

Eine Punktmenge \(E\) des Intervalls \(0\leqq x\leqq 2\pi\) heißt Eindeutigkeitsmenge für trigonometrische Reihen, kurz \(U\)-Menge, wenn jede in den Punkten der Komplementärmenge zu null konvergente trigonometrische Reihe identisch verschwindet. Verf. beweist au dem Wege über Beziehungen zu den Fourierintegralen, daß dann auch die Punktmenge \(E\cdot\lambda = \{y\cdot\lambda\}\) \((y\in E, \lambda >0)\), falls im Intervall \((0, 2\pi)\) gelegen, eine \(U\)-Menge ist. Setzt man an Stelle der Konvergenz in der obigen Definition die \(T\)-Konvergenz (\(T\) eine Toeplitz-Matrix), so gilt noch der Satz: Es gibt ein \(T\)-Verfahren, für welches die leere Menge nicht \(U\)-Menge ist.

Reviewer: Bödewadt, U. T., Dr. (Göttingen)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.