Faedo, S. Ordine di grandezza dei coefficienti di Eulero-Fourier delle funzioni di due variabili. (Italian) JFM 63.0217.01 Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 6, 225-246 (1937). Ist \(f(x,y)\) eine in dem Quadrat \(Q(0\leqq x\leqq 2\pi, 0\leqq y\leqq 2\pi)\) im Lebesgueschen Sinne integrable Funktion, so streben ihre Euler-Fourierschen Koeffizienten \(a_{m,n}, b_{m,n}, c_{m,n}, d_{m,n}\), wobei \[ a_{m,n} = \dfrac{1}{\pi^2}\iint\limits_Q f(x,y)\, \cos\, mx\, \cos\, ny\, dxdy \;\text{ usw.}, \] gegen null, wenn \(m, n\) gleichzeitig und unabhängig voneinander gegen \(\infty\) streben. Verf. gibt nun für einige Funktionsklassen, insbesondere stetige und schwankungsbeschränkte Funktionen, Abschätzungen der Größenordnung dieser Koeffizienten.Von den Resultaten seien diejenigen über schwankungsbeschränkte Funktionen genannt. Für die Euler-Fourierschen Koeffizienten \(a_n, b_n\) einer schwankungsbeschränkten Funktion \(f(x)\) gilt bekanntlich \(a_n, b_n = O\left(\dfrac{1}{n}\right)\). Entsprechend hat man für schwankungsbeschränkte Funktionen \(f(x, y)\) die Abschätzung \(a_{mn},\cdots = O\left(\dfrac{1}{mn}\right)\), wenn die Schwankungsbeschränktheit von \(f(x, y)\) so definiert wird, daß für jede Einteilung \(0\equiv x_0 < x_1 < \cdots < x_m \equiv 2\pi\), \(0\equiv y_0 < y_1 <\cdots < y_n\equiv 2\pi\) die Summe \(\sum |f(x_r,y_s) - f(x_{r+1},y_s) f(x_r,y_{s+1}) + f(x_{r+1},y_{s+1})|\) unter einer festen, von der Einteilung unabhängigen Schranke bleiben soll. Dagegen hat man für quasi-stetige, schwankungsbeschränkte Funktionen \(f(x, y)\) die Abschätzung \(a_{mn},\cdots = O\left(\dfrac{1}{m+n}\right)\), -und zu jedem \(\varepsilon > 0\) gibt es Funktionen der Klasse, die nicht die Abschätzung \(a_{mn},\ldots = O\left[\dfrac{1}{(m+n)^{1+\varepsilon}}\right]\) zulassen–falls die Schwankungsbeschränktheit nach Tonelli (Serie trigonometriche (1928; F. d. M. 54, 298 (JFM 54.0298.*)) S. 443-444) definiert wird durch die beiden Eigenschaften: (1) Für fast alle Werte \(x'\) und \(y'\) aus \(\langle 0,2\pi\rangle\) sind \(f(x, y')\) bzw. \(f(x', y)\) in \(\langle 0,2\pi\rangle\) schwankungsbeschränkte Funktionen von \(x\) bzw. \(y\). (2) Wird mit \(V_{(x)}(\overline{x}, y)\) die totale Variation von \(f(x, y)\), aufgefaßt als Funktion von \(x\) allein, im Intervall \(\langle 0, \overline{x}\rangle\) bezeichnet, mit \(V_{(y)}(x, \overline{y})\) die totale Variation von \(f(x, y)\), aufgefaßt als Funktion von \(y\) allein, im Intervall \(\langle 0, \overline{y}\rangle\), so sollen die Integrale \[ \int\limits_0^{2\pi} V_{(x)}(2\pi, y)\, dy, \quad \int\limits_0^{2\pi} V_{(y)}(x, 2\pi)\, dx \] (im Lebesgueschen Sinne) existieren. Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock) Cited in 1 Document JFM Section:Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen. Citations:JFM 54.0298.* × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML