Mean values of trigonometrical polynomials. (English) JFM 63.0221.03

Marcinkiewicz, J.; Zygmund, A.

Fundam. Math., Warszawa, 28, 131-166 (1937).

I. In einem ersten Kapitel werden verschiedene Ungleichungen zwischen Mittelwerten trigonometrischer Polynome \[ S(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum\limits_{k=1}^n (a_k\,\cos\, kx + b_k\,\sin\, kx) \] und ihrer konjugierten Polynome \[ \overline{S}(x) = \sum\limits_{k=1}^n (a_k\,\sin\, kx - b_k\,\cos\, kx) \] bewiesen. Ist \(x_0 < x_1 <\cdots < x_{2n}\) ein System von \(2n + 1\) Punkten, die (mod \(2\pi\)) gleichmäßig über das Intervall \(\langle0, 2\pi)\) verteilt sind – man kann ohne Einschränkung \(x_\nu = \nu\dfrac{2\pi}{2n+1}\) \((\nu = 0, 1,\ldots, 2n)\) setzen, was im folgenden geschieht – so gilt für jedes \(S(x)\) die bekannte Beziehung \[ \dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|S(x)|^2 dx =\dfrac{1}{2n+1}\sum\limits_{\nu =0}^{2n}|S(x_\nu)|^2, \tag{1} \] die sich bei Verwendung der Treppenfunktion \[ \varphi_\mu (x) = j\dfrac{2\pi}{\mu} \;\text{ für } \;j\dfrac{2\pi}{\mu}\leqq x < (j+1)\dfrac{2\pi}{\mu} \qquad (j=0,\pm 1,\pm 2,\ldots) \] (\(\mu > 0\), ganz) in die Form \[ \int\limits_0^{2\pi}|S(x)|^2 dx = \int\limits_0^{2\pi}|S(x)|^2 d\varphi_{2n+1}(x) \tag{2} \] setzen läßt. Diese Beziehung wird auf Exponenten \(\neq 2\) und die konjugierten Polynome erweitert:
1) Es gilt für eine absolute Konstante \(A\) \[ \left\{\int\limits_0^{2\pi}|S|^p\, d\varphi_{2n+1}\right\}^\tfrac{1}{p}\leqq A \left\{\int\limits_0^{2\pi}|S|^p\, dx\right\}^\tfrac{1}{p} \qquad (1\leqq p\leqq\infty) \tag{3} \] und für eine nur von \(p\) abhängige Konstante \(B_p\) \[ \left\{\int\limits_0^{2\pi}|S|^p\, dx\right\}^\tfrac{1}{p}\leqq B_p\left\{\int\limits_0^{2\pi}|S|^p\, d\varphi_{2n+1}\right\}^\tfrac{1}{p} \qquad (1<p<\infty). \tag{4} \] (Vgl. J. Marcinkiewicz, Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 8 (1937), 127-130; JFM 63.0233.*) Ungleichung (4) wird für \(p=1\) und \(p=\infty\) falsch. – Für \(1 < p < \infty\) kann \(S\) in den linken Seiten von (3) und (4) durch \(\overline{S}\) ersetzt werden, wenn \(A\) und \(B_p\) durch passende, nur von \(p\) abhängige Konstanten \(\overline{A}_p, \overline{B}_p\) ersetzt werden. – Für die Konstanten \(A, B_p, \overline{A}_p, \overline{B}_p\) werden Abschätzungen angegeben.
2) Als Grenzfälle von (4) können die folgenden Beziehungen angesehen werden: (a) Ist \[ \max\limits_\nu \left|S\left(\dfrac{2\pi\nu}{2n+1}\right)\right|\leqq 1, \] so gibt es eine absolute Konstante \(\lambda_0\) derart, daß für jedes \(\lambda\) aus \(\langle 0, \lambda_0)\) mit einem nur von \(\lambda\) abhängigen \(\mu_\lambda\) \[ \int\limits_0^{2\pi}\text{exp }\lambda |S|\, dx\leqq\mu_\lambda \tag{5} \] gilt. (b) Mit zwei absoluten Konstanten \(A\) und \(B\) gilt \[ \int\limits_0^{2\pi}|S|\, dx\leqq A\int\limits_0^{2\pi} |S|\, \overset{+}{\log} |S|\, d\varphi_{2n+1} + B. \tag{6} \] (c) Für jedes \(\mu\) aus \((0,1)\) gilt \[ \int\limits_0^{2\pi}|S|^\mu\, dx\leqq K_\mu\left\{\int\limits_0^{2\pi} |S|\, d\varphi_{2n+1}\right\}^\mu, \tag{7} \] wo \(K_\mu\) nur von \(\mu\) abhängt und überdies \(K_\mu\leqq K/(1 \mu)\) mit einer absoluten Konstanten \(K\) ist. – In den linken Seiten von (5)–(7) kann \(S\) durch \(\overline{S}\) ersetzt werden. – (d) Für jedes ganze \(k > 0\) gilt \[ \int\limits_0^{2\pi}|S|\, dx\leqq \left(1+\dfrac{2n}{k}\right) \int\limits_0^{2\pi}|S|\, d\varphi_{2n+k}; \quad \max\limits_x |S(x)|\leqq \left(1+\dfrac{2n}{k}\right) \max\limits_\nu \left|S\left(\dfrac{2\pi\nu}{2n+k}\right)\right|. \]
3) Als Anwendung der in 1) genannten Ergebnisse wird das folgende Analogon eines bekannten Satzes über konjugierte Funktionen (vgl. z. B: A. Zygmund, Trigonometrical Series, 1935 (JFM 61.0263.*), S. 147) erhalten: Es gilt \[ \left(\int\limits_0^{2\pi}|\overline{S}|^p\, d\varphi_{2n+1}\right)^\tfrac{1}{p}\leqq L_p \left(\int\limits_0^{2\pi}|S|^p\, d\varphi_{2n+1}\right)^\tfrac{1}{p} \qquad (p > 1), \tag{8} \] wo \(L_p\) nur von \(p\) abhängt. Für \(p\leqq 1\) ergeben sich auch (6) und (7) analog gebaute Abschätzungen für \(\int\limits_0^{2\pi}|\overline{S}|^p\,d\varphi_{2n+1}\).
4) Den über trigonometrische Polynome bewiesenen Sätzen entsprechen jeweils Sätze über Polynome \[ P(z) = c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n, \] z. B. hat man entsprechend (4): \[ \left(\int\limits_0^{2\pi}|P(e^{i\theta})|^p\, d\theta\right)^\tfrac{1}{p}\leqq B_p^* \left(\int\limits_0^{2\pi}|P(e^{i\theta})|^p\, d\varphi_{n+1}(\theta)\right)^\tfrac{1}{p} \qquad (p > 1), \] wo \(B_p^* = B_p\), gesetzt werden kann.
5) Es folgen noch einige Bemerkungen über die Koeffizienten trigonometrischer Polynome. Entsprechend den Hausdorff-Youngschen Ungleichungen wird gezeigt: Ist \[ S(\theta) =\sum\limits_{\nu = -n}^{+n}c_\nu e^{i\nu\theta} \] ein trigonometrisches Polynom \(n\)-ter Ordnung und ist \(1\leqq p\leqq 2\), \(p' = p/(p - 1)\), so gilt: \[ \begin{gathered} \left(\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|S(\theta)|^{p'}\, d\varphi_{2n+1}\right)^\tfrac{1}{p}\leqq \left(\sum\limits_{\nu = -n}^{+n}|c_\nu |^p\right)^\tfrac{1}{p}, \\ \left(\sum\limits_{\nu = -n}^{+n}|c_\nu |^{p'}\right)^\tfrac{1}{p'}\leqq \left(\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|S(\theta)|^p\, d\varphi_{2n+1}\right)^\tfrac{1}{p}. \end{gathered} \]
II. Das zweite Kapitel enthält Sätze über das Verhalten der trigonometrischen Polynome \[ I_{n,u}(x,f) = \dfrac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(t)D_n(x-t) d\varphi_{2n+1} (t-u), \] wo \(f(t)\) eine \(L\)-integrable Funktion mit der Periode \(2\pi\), \(D_n(t)\) der Dirichletsche Kern und \(u\) ein Parameter ist. \(I_{n,u}(x, f)\) ist das trigonometrische Polynom der Ordnung \(\leqq n\), das an den Stellen \(x_\nu + u\) die Werte \(f(x_\nu + u)\) annimmt \(\left(x_\nu = \dfrac{2\pi\nu}{2n+1}; \;\nu = 0, 1,\ldots, 2n\right)\). Es wird gezeigt:
1) Für \(f\in L^p\), \(p>1\) gilt \[ \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|I_{n,u}(x, f) f(x)|^pdxdu\to 0 \;\text{ für } \;n\to\infty. \tag{9} \] Für \(|f|\overset{+}{\log}|f|\in L\) gilt(9) mit \(p=1\). Für \(f\in L\) gilt \[ \int\limits_0^{2\pi}\left[\int\limits_0^{2\pi}|I_{n,u}(x, f) f(x)|^\mu dx\right]^\tfrac{1}{\mu}du\to 0 \;\text{ für } \;n\to\infty \text{ bei jedem } \mu \text{ aus } (0,1). \tag{10} \]
2) Für \(f\in L^p\), \(p >1\) gibt es stets eine Folge ganzer Zahlen \(n_1<n_2<\cdots\) derart, daß für fast alle \(u\) \[ \int\limits_0^{2\pi}|I_{n_ku}(x, f) - f(x)|^p\, dx\to 0 \;\text{für } \;k\to\infty \tag{11} \] gilt. Für \(|f|\overset{+}{\log}|f|\in L\) gilt (11) mit \(p = 1\). Für \(f\in L\) gilt (11) mit jedem \(p\) aus \((0,1)\). – Insbesondere gilt also für fast alle \(u\) \[ \varliminf\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^{2\pi}|I_{n,u}(x, f) - f(x)|^p\, dx = 0. \] Dagegen gibt es zu jedem \(p\geqq 1\) ein \(f\in L^p\) derart, daß für fast alle \(u\) \[ \varlimsup\limits_{n\to\infty} \int\limits_0^{2\pi}|I_{n,u}(x, f)|^p\, dx = \infty \] gilt.
3) Es gibt eine integrable Funktion \(f(x)\) von der Periode \(2\pi\) (z. B. \(f(x) = |x|^{-\frac{3}{4}}\) für \(|x|\leqq\pi\)) derart, daß die Folge der Polynome \(I_{n,u}(x, f)\) in fast allen Punkten des Quadrats \(0\leqq x\leqq 2\pi\), \(0\leqq u\leqq 2\pi\) divergiert.
4) Die unter 1)-3) genannten Sätze bleiben richtig, wenn die trigonometrischen Polynome \(I_{n,u}(x, f)\) ersetzt werden durch die Jacksonschen Polynome \[ J_{n,u}(x,f) = \int\limits_0^{2\pi} f(t)K_n(x-t)\, d\varphi_{n+1}(t-u), \] wo \(K_n(t)\) den Fejérschen Kern bedeutet.
5) Schließlich werden noch Beziehungen zwischen den \(I_{n,u}(x, f)\) und Koeffizienten und Teilsummen der Fourierreihe von \(f(x)\) hergeleitet. Insbesondere wird gezeigt: Ist \[ f(x)\sim \sum\limits_{s=-\infty}^\infty \gamma_se^{isx} \] (\(f(x)\) reell, also \(\gamma_{-s} = \overline{\gamma}_s\) ) und ist \(\sum\limits_{\lambda =1}^\infty\dfrac{|\gamma_\lambda|}{\lambda}\) konvergent – was für \(f\in L^p\) mit \(p > 1\) gewiß erfüllt ist – so gilt für die \(n\)-te Teilsumme \(s_n(x)\) der Fourierreihe von \(f(x)\) \[ \lim\limits_{n\to\infty}\left\{\dfrac{1}{|I|}\int\limits_{I} I_{n,u}(x,f)\, du - s_n(x)\right\} = 0, \] wenn \(I\) ein beliebiges Intervall und \(|I|\) seine Länge ist.
Für die Beweise der besprochenen Sätze sind die folgenden, an sich interessanten Tatsachen von Bedeutung: (a) Es gibt eine Funktion \(F(x)\in L\) von der Periode 1 derart, daß für keinen Wert von \(u\) \[ \xi_n(u,F) = \dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}F\left(u+\dfrac{i}{n}\right)\to \int\limits_0^1F(x)\, dx \] strebt. (Dieses Ergebnis beantwortet eine von B. Jessen (Ann. Math., Princeton, 35 (1934), 248-251; JFM 60.0209.*) aufgeworfene Frage.) (b) Es gibt eine Funktion \(F(x)\in L\) von der Periode 1, für die bei fast allen \(u\) \[ \varlimsup\limits_{n\to\infty}\xi_{2n+1}(u,F) = \infty \] gilt.

Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.

Citations:

JFM 63.0233.*; JFM 61.0263.*; JFM 60.0209.*