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Sur les meilleurs procédés d’approximation de certaines classes de fonctions par des polynomes trigonométriques. (French) JFM 63.0225.01
Die Arbeit gibt eme systematische Darlegung der Approxhnationsprozesse mittels der Summierungsmethoden für Fourierreihen. Es sei \(E\) eine konvexe Teilmenge der stetigen Funktionen der Periode \(2\pi\), ferner \(F(f)\) ein in \(E\) definiertes konvexes, nicht negatives Funktional, das nur für konstante Funktionen verschwindet und der Bedingung \(F(cf) = |c|F(f)\) genügt, wo \(c\) eine beliebige Konstante bezeichnet. Setzt man \[ \begin{gathered} f = \dfrac{a_0}{2} +\sum (a_\varkappa\,\cos\,\varkappa x + b_\varkappa\,\sin\,\varkappa x), \;\sigma_m^\gamma = \dfrac{a_0}{2} +\sum\limits_1^{m-1}\gamma_\varkappa^{(m)} (a_\varkappa\,\cos\,\varkappa x + b_\varkappa\,\sin\,\varkappa x); \\ S_m^\gamma (f) = \max\limits_x |f- \sigma_m^\gamma |, \;\Delta_m^\gamma = \underset{f\in E}{\text{fin sup}}\dfrac{S_m^\gamma (f)}{F(f)}, \end{gathered} \] so beweist Verf. die Existenz von Methoden \(\gamma\), für die die Zahlen \(\Delta_m^\gamma\) die kleinstmöglichen sind, diskutiert die Fälle, in denen der beste Approximationsprozeß einzig ist, und bestimmt effektiv die Konstanten \(\gamma_\varkappa^m\) und die Zahlen \(\Delta_m^\gamma\). Von besonderem Interesse ist das folgende Resultat: Jede Funktion \(f\), die eine Ableitung der Ordnung \(n\) besitzt, deren Betrag \(M_n\) nicht übertrifft, kann durch ein trigonometrisches Polynom von einer Ordnung kleiner als \(m\) approximiert werden, derart, daß der Fehler \(\dfrac{K(n)M_n}{m^n}\) nicht übertrifft, wo die Funktion \(K(n)\) beschränkt ist. Die Zahlen \(K(n)\) werden explizit angegeben und können nicht verbessert werden.
Im zweiten Teil beweist Verf. unter Anwendung der Ergebnisse des ersten Teils, daß eine Funktion \(f(x)\) die eine Derivierte \(n\)-ter Ordnung mit dem Stetigkeitsmodul \(\omega (\delta)\) besitzt, durch ein Polynom \(m\)-ten Grades approximiert werden kann mit einem Fehler, der \(K(n)\dfrac{\omega\begin{pmatrix} \pi \\m\end{pmatrix}}{m^n}\) nicht übertrifft, wo die Zahlen \(K(n)\) beschränkt sind. Dieselben Methoden ergeben das folgende sehr interessante Resultat: Wenn \(f(x)\) eine Derivierte besitzt, deren Betrag \(M\) nicht übertrifft, so kann ihre konjugierte Funktion durch ein Polynom höchstens \(m\)-ten Grades approximiert werden, derart, daß der Fehler den Betrag \(\dfrac{4}{\pi}\left(\sum\limits_0^\infty \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\right)\dfrac{M}{m}\) nicht übersteigt, und diese Schranke ist die bestmögliche. Schließlich findet man in diesem Teil einige Resultate, die die Approximation von analytischen Funktionen und von Funktionen mit Derivierten der Klasse \(L^p(p\geqq 1)\) betreffen.

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