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Sur l’orthogonalité des fonctions fondamentales et sur la forte convergence en moyenne des polynomes d’interpolation de Lagrange dans le cas des abscisses de Tchebychef. (French) JFM 63.0234.02

Bezeichnet man mit \(l_k(x)\) die Fundamentalfunktionen der Lagrangeschen Interpolationsformel und benutzt als Fundamentalpunkte der Interpolation die Nullstellen \[ x_k^{(n)} = \cos\, \theta_k^{(n)} = \cos\, (2k-1)\dfrac{\pi}{2n} \] der Polynome erster Art von Tschebyscheff \[ \omega_n(x) = T_n(x) = \cos\, n\theta \;\text{ mit } \;x=\cos\, \theta, \] so lassen sich sehr einfache Ausdrücke für \(\sum\limits_{i=1}^nl_i^2(x)\) und \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{k=i+1}^nl_i(x)l_k(x)\) angeben. Nimmt man ferner irgend \(2k\) von einander verschiedene Nullstellen \(x_{i_1}, x_{i_2},\ldots, x_{i_{2k}}\) eines solchen Polynoms, so wird \[ \int\limits_{-1}^{+1}l_{i_1}(x)l_{i_2}(x)\ldots l_{i_{2k}}(x)\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = 0 \quad \left(k=1,2,\ldots,\left[\dfrac{n}{2}\right]\right). \] Diese Relation gilt z. B. nicht bei Benutzung der Nullstellen der Tschebyscheffschen Polynome zweiter Art oder der Legendreschen Polynome, auch nicht, wenn die Zahl der benutzten Fundamentalfunktionen bei Benutzung der Nullstellen der Tschebyscheffschen Polynome erster Art ungerade ist, und im allgemeinen auch nicht, wenn bei zwei Fundamentalfunktionen Nullstellen von Polynomen verschiedener Ordnung benutzt werden. Ebenso ist obiges Integral z. B. für vier Funktionen, wenn drei, vier oder je zwei gleich sind auch für die Nullstellen der Tschebyscheffschen Polynome nicht null aber für \(n\to\infty\) beschränkt, während, wenn nur zwei dieser vier Faktoren gleich sind, die anderen verschieden, der Grenzwert logarithmisch unendlich wird.
Weiter beweist Verf. daß die verschärfte mittlere Konvergenz \[ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{-1}^{+1}\left(L_n(f) f(x)\right)^4\, dx = 0 \] für das Lagrangesche Interpolationspolynom \(L_n\) einer stetigen Funktion \(f(x)\) gilt, wenn man als Fundamentalpunkte wieder die Nullstellen eines Tschebyscheffschen Polynoms nimmt. Diese Gleichung besteht auch, wenn die Fundamentalpunkte Nullstellen von Polynomen \(\omega_n(x)\) sind, die orthogonal in bezug auf Gewichte \(p(x)\geqq M > 0\) und im Intervall \(-1\) bis \(+1\) integrabel sind, falls mit einer von \(n\) unabhängigen Konstanten \(C\) gilt \[ \sum\limits_{i=1}^n l_i^2(x) < C \;\text{ und } \;\omega_n^3(x) = \sum\limits_{k=n-3}^{3n} a_k\omega_k(x). \] Die letzte Bedingung ist nicht notwendig und kann durch andere ersetzt werden.
Allgemein läßt sich zeigen, daß \[ \lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{-1}^{+1}\left(L_n(f) f(x)\right)^{2r}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = 0 \] für alle stetigen Funktionen \(f(x)\) und für die Tschebyscheffschen Nullstellen gilt.
Im letzten Abschnitt zeigt Verf., daß für die Fundamentalfunktionen zweiter Art \(\mathfrak{h}_k(x)\) der Interpolation von Hermite die Beziehung \[ \int\limits_{-1}^{+1}\mathfrak{h}_{i_1}(x)\cdot\mathfrak{h}_{i_2}(x)\cdots \mathfrak{h}_{i_r}(x)\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = 0 \qquad (r=1,2,\ldots,n) \] gilt, wenn als Fundamentalpunkte \(r\) verschiedene Nullstellen eines Polynomes von Tschebyscheff genommen werden. Für die Fundamentalfunktionen erster Art der Hermiteschen Interpolationsformel besteht diese Gleichung nicht.
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Full Text: DOI Numdam EuDML