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Sur le développement des fonctions définies dans un intervalle infini en séries de polynomes de M. S. Bernstein. (French) JFM 63.0237.01
Für jede in \(\langle0,1\rangle\) stetige Funktion \(f(x)\) gilt daselbst gleichmäßig \[ \lim_{n\to\infty} B_n [f(x)]=f(x), \] wenn \(B_n[f(x)]\) das \(n\)-te Bernsteinsche Polynom \[ B_n[f(x)]=\sum_{k=0}^n\binom nkf\left(\frac kn\right)x^k(1-x)^{n-k} \] bedeutet (S. Bernstein, Commun. Soc. math. Kharkoff (2) 13 (1912), 1-2; F. d. M. 43, 301 (JFM 43.0301.*)).
Verf. sucht diesen Satz auf das unendliche Intervall \(0\leqq x < +\infty\) (die Resultate übertragen sich unmittelbar auf \(-\infty < x < +\infty\)) auszudehnen. Er wählt dazu eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen \[ h_1,h_2,\ldots,h_n,\ldots\qquad \text{mit} \quad h_n\to\infty \] und bildet für eine in \(0\leqq x < +\infty\) definierte Funktion \(f(x)\) die Polynome \[ B_n[f(x),h_n]=\sum_{k=0}^n\binom nkf\left(\frac{h_nk}n\right) \left(\frac{x}{h_n}\right)^k\left(1-\frac x{h_n}\right)^{n-k}. \] Diese Folge braucht bei willkürlich gewählten \(h_n\) nicht gegen die Funktion \(f(x)\), auch wenn sie stetig ist, zu streben. Verf. zeigt jedoch: Strebt für jedes \(\alpha\neq 0\) \[ \max_{0\leqq x<h_n}|f(x)| e^{-\alpha^2\tfrac n{h_n}}\to 0 \quad \text{für} \quad n\to\infty, \] so gilt an jeder Stetigkeitsstelle von \(f(x)\) \[ \lim_{n\to\infty} B_n[f(x),h_n] = f(x); \] ist \(f(x)\) in \(0\leqq x < +\infty\) stetig, so ist die Konvergenz in jedem Intervall \(\langle a, b\rangle\) mit \(0<a\leqq x\leqq b<\infty\) eine gleichmäßige.
Analoge Resultate erhält Verf. hinsichtlich der Konvergenz der Folge \(B_n\) an Unstetigkeitsstellen von \(f(x)\), sowie hinsichtlich der Konvergenz der abgeleiteten Folge \(\dfrac d{dx} B_n\). Schließlich wird noch fürs Komplexe gezeigt: Ist \(f(z)\) eine ganze Funktion der endlichen Ordnung \(\varrho\) und gilt \(h_n < n^{\tfrac1{\varrho+1+\varepsilon}}\), so strebt die Folge \(B_n [f(z), h_n]\) in jedem beschränkten Gebiet gleichmäßig gegen \(f(z)\).

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Full Text: EuDML