Sur le développement des fonctions définies dans un intervalle infini en séries de polynomes de M. S. Bernstein. (French) JFM 63.0237.01

Chlodovsky, I.

Compositio math., Groningen, 4, 380-393 (1937).

Für jede in \(\langle0,1\rangle\) stetige Funktion \(f(x)\) gilt daselbst gleichmäßig \[ \lim_{n\to\infty} B_n [f(x)]=f(x), \] wenn \(B_n[f(x)]\) das \(n\)-te Bernsteinsche Polynom \[ B_n[f(x)]=\sum_{k=0}^n\binom nkf\left(\frac kn\right)x^k(1-x)^{n-k} \] bedeutet (S. Bernstein, Commun. Soc. math. Kharkoff (2) 13 (1912), 1-2; F. d. M. 43, 301 (JFM 43.0301.*)).
Verf. sucht diesen Satz auf das unendliche Intervall \(0\leqq x < +\infty\) (die Resultate übertragen sich unmittelbar auf \(-\infty < x < +\infty\)) auszudehnen. Er wählt dazu eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen \[ h_1,h_2,\ldots,h_n,\ldots\qquad \text{mit} \quad h_n\to\infty \] und bildet für eine in \(0\leqq x < +\infty\) definierte Funktion \(f(x)\) die Polynome \[ B_n[f(x),h_n]=\sum_{k=0}^n\binom nkf\left(\frac{h_nk}n\right) \left(\frac{x}{h_n}\right)^k\left(1-\frac x{h_n}\right)^{n-k}. \] Diese Folge braucht bei willkürlich gewählten \(h_n\) nicht gegen die Funktion \(f(x)\), auch wenn sie stetig ist, zu streben. Verf. zeigt jedoch: Strebt für jedes \(\alpha\neq 0\) \[ \max_{0\leqq x<h_n}|f(x)| e^{-\alpha^2\tfrac n{h_n}}\to 0 \quad \text{für} \quad n\to\infty, \] so gilt an jeder Stetigkeitsstelle von \(f(x)\) \[ \lim_{n\to\infty} B_n[f(x),h_n] = f(x); \] ist \(f(x)\) in \(0\leqq x < +\infty\) stetig, so ist die Konvergenz in jedem Intervall \(\langle a, b\rangle\) mit \(0<a\leqq x\leqq b<\infty\) eine gleichmäßige.
Analoge Resultate erhält Verf. hinsichtlich der Konvergenz der Folge \(B_n\) an Unstetigkeitsstellen von \(f(x)\), sowie hinsichtlich der Konvergenz der abgeleiteten Folge \(\dfrac d{dx} B_n\). Schließlich wird noch fürs Komplexe gezeigt: Ist \(f(z)\) eine ganze Funktion der endlichen Ordnung \(\varrho\) und gilt \(h_n < n^{\tfrac1{\varrho+1+\varepsilon}}\), so strebt die Folge \(B_n [f(z), h_n]\) in jedem beschränkten Gebiet gleichmäßig gegen \(f(z)\).

Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock)

JFM Section:

Erster Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Theorie der reellen Funktionen. D. Approximationen, Darstellungen und Reihen.

Citations:

JFM 43.0301.*