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Sur la représentation des fonctions analytiques de plusieurs variables réelles. (French) JFM 63.0239.02

Eine Funktion \(f(x, y)\) der reellen Veränderlichen \(x\), \(y\) heißt in der Umgebung der Stelle \(x=0\), \(y=0\) analytisch, wenn sie sich daselbst durch eine zweifache Potenzreihe \[ f(x,y)= \sum_{m,n=0}^\infty a_{mn}x^my^n \tag{1} \] darstellen läßt. Verf. gewinnt aus (1), indem er zur Diagonalreihe übergeht und dieselbe nach Einführung von Polarkoordinaten \(r\), \(\theta\) passend umformt, eine Darstellung der Form \[ f(x,y)=\sum_{k=0}^\infty u_k(r,\theta)r^{2k}, \tag{2} \] in der die Funktionen \(u_k (r, \theta)\) in der Umgebung des Nullpunkts reguläre Potentialfunktionen bedeuten. Er zeigt, daß jede in der Umgebung des Nullpunkts analytische Funktion der reellen Veränderlichen \(x\), \(y\) daselbst auf genau eine Weise durch eine Reihe der Form (2) darstellbar ist. Die “harmonischen Koeffizienten” \(u_k(r, \theta)\) lassen eine Integraldarstellung zu.
Als Anwendung der Darstellung (2) wird ein Analogon des Liouvilleschen Satzes für analytische Funktionen zweier reeller Veränderlicher bewiesen: Es sei \[ \mathfrak M (r, f) = \sum_{k=0}^\infty M_k(r) r^{2k} \quad \text{mit}\quad M_k(r) = \max_{0\leqq\theta<2\pi} |u_k (r, \theta)|; \] bleibt \(r^{-m}\mathfrak M(r, f)\) für alle \(r\) beschränkt, so reduziert sich \(f\) auf ein Polynom vom Grade \(\leqq m\).
Es folgen Bemerkungen über das Rechnen mit den Darstellungen (2) sowie ihre Verallgemeinerung auf Funktionen von mehr als zwei Veränderlichen. (Vgl. auch die nachstehend besprochene Arbeit.)
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Full Text: DOI Numdam EuDML