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Sur quelques propriétés des différences divisées. (French) JFM 63.0247.04

Verf. hat kürzlich (Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2)1 (1932), 371-384; F. d. M. \(58_{\text I}\), 299) die Weierstraßsche Übertragung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen verallgemeinert auf Differenzenquotienten beliebig hoher Ordnung: Ist \(f(z)\) in einem Gebiet \(D\) analytisch und sind \(z_0, z_1,\ldots, z_p\) Punkte, die einem in \(D\) gelegenen konvexen Polygon angehören, ist ferner \[ d_k f(z_0)=\frac{f(z_k)-f(z_0)}{z_k-z_0}, \] so gilt \[ Q_p (z_o, z_1,\ldots,z_p)\equiv d_1d_2\ldots d_pf(z_0) = \frac{Z_p}{p!}, \tag{1} \] wo \(Z_p\) einen passenden Punkt der konvexen Hülle \(S_p\) des Wertevorrats \(\varSigma_p\) der Funktion \(f^{(p)}(z)\) in \(D\) bedeutet.
In der vorliegenden Note wird nun gezeigt, wie sich hieraus in einfacher Weise andere, zum Teil bekannte Darstellungen des Differenzenquotienten \(Q_p(z_0, z_1,\ldots, z_p)\) ergeben, u. a. die Darstellung \(Q_p(z_0,z_1,\ldots, z_p) = \dfrac\lambda{p!} f^{(p)}(\xi)\) für passendes \(\xi\) aus \(D\) und \(\lambda\) mit \(|\lambda|\leqq1\), die für \(p=1\) die klassische Darbouxsche Formel enthält (vgl. Darboux, J. Math. pur. appl. (3) 2 (1876), 291-312; F. d. M. 8, 124 (JFM 08.0124.*) und Jensen, Bull. Acad. R. Sci. Lettres Danemark 1894, 246-252; F. d. M. 25, 401 (JFM 25.0401.*)).
Ist \(\varSigma_p\) konvex, so kann (1) insbesondere die aus dem Reellen geläufige Form \[ Q_p(z_0, z_1,\ldots, z_p) = \frac1{p!} f^{(p)}(\xi) \qquad \text{für passendes \(\xi\) aus \(D\)} \] gegeben werden. Verf. zeigt mit Hilfe von (1), daß diese Formel auch in allgemeineren Fällen gilt, falls \(z_0, z_1,\ldots, z_p\) hinreichend dicht beieinanderliegen; er erhält dabei u. a. Resultate, die bekannte Sätze von D. R. Curtiss (Ann. Math., Princeton, (2) 8 (1907), 118-126; F. d. M. 38, 337 (JFM 38.0337.*)) und C. Cinquini (Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 12 (1933), 153-171; F.d. M. \(59_{\text I}\), 314) umfassen.
Endlich wird auf Beziehungen dieser Untersuchungen zur Theorie der schlichten bzw. \(p\)-wertigen und der im kleinen schlichten bzw. \(p\)-wertigen Funktionen (vgl. P. Montel, Ann. sci. Ecole norm. sup. (3)54 (1937), 39-54; F. d. M. \(63_{\text I}\), 290) hingewiesen.

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