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Functions with dominant singularities of the generalized algebraic-logarithmic type. (English) JFM 63.0253.02
Es sei \[ f(z) = c_0 + c_1z + \cdots + c_nz^n + \cdots \tag{1} \] ein Funktionselement vom Konvergenzradius 1. J. Hadamard (J. Math. pur. appl. (4) 8 (1892), 101-186; F. d. M. 24, 359 (JFM 24.0359.*)) hat den Begriff der Ordnung von \(f(z)\) in einem Punkt oder Bogen des Kreises \(|z|=1\) eingeführt und hat die Funktionen \(f(z)\), deren Singularitäten auf \(|z|=1\) von endlicher Ordnung sind, untersucht. Seine allgemeinen Ergebnisse werden gewöhnlich in die beiden folgenden Sätze zusammengefaßt:
(A\(_1\)) Die Ordnung von \(\left(1-\dfrac z{z'}\right)f(z)\) ist in jedem Punkt von \(|z| = 1\) dieselbe wie die von \(f(z)\), abgesehen höchstens vom Punkt \(z'\) selbst, falls er eine Singularität von \(f (z)\) auf \(|z| =1\) ist.
(B\(_1\)) Ist für ein Polynom \(P(z)\) die Ordnung von \(P(z)f(z)\) auf \(|z|= 1\) niedriger als die Ordnung von \(f(z)\), so gibt es genau ein Polynom niedrigster Ordnung mit dem Absolutglied 1, für das dies zutrifft.
Hat \(f(z)\) auf \(|z|=1\) polare, algebraische oder logarithmische Singularitäten, so lassen sich diese Aussagen noch präzisieren und ermöglichen, wie Hadamard (a. a. O.) gezeigt hat, die Bestimmung der Singularitäten von \(f(z)\) auf \(|z|= 1\), falls man das unter der genannten Voraussetzung über diese Singularitäten bestehende asymptotische Verhalten der Koeffizienten \(c_n\) berücksichtigt. Das Ziel der vorliegenden Note ist es, diese Hadamardschen Untersuchungen so zu erweitern, daß sie die neuerdings von verschiedenen Autoren untersuchten (die polaren, algebraischen und logarithmischen Singularitäten als Spezialfälle enthaltenden) allgemeinen Singularitäten von algebraischlogarithmischem Typus (vgl. insbesondere R. Jungen, Comment. math. Helvetici 3 (1931), 266-306; F. d. M. \(57_{\text I}\), 373) umfassen.
Man sagt, \(f(z)\) besitze an der Stelle \(z=z'\) eine Singularität von algebraischlogarithmischem Typus, wenn sie sich in der Umgebung dieses Punkts darstellen läßt als Summe endlich vieler Ausdrücke der Form \[ (z-z')^{-s}\{\log(z-z')\}^l\varphi(z), \tag{2} \] wo \(s\) eine komplexe, \(l\) eine nichtnegative ganze Zahl und \(\varphi(z)\) eine in \(z = z'\) reguläre und von 0 verschiedene Funktion bedeutet. Das Element (2) heißt vom Typus \((s, k)\) und vom Gewicht \([\sigma, k]\), wobei \(\sigma =\mathfrak R(s)\), \(k = l\) oder \(\sigma = s\), \(k=l-1\) oder \(\sigma= - \infty\), \(k = 0\) sein soll, je nachdem \(s\neq 0, - 1, - 2,\ldots\), oder \(s = 0, - 1, - 2, \ldots\) und \(l > 0\), oder \(s = 0, - 1, - 2,\ldots\) und \(l = 0\) (also \(z'\) regulär) ist. Das Gewicht \([\sigma, k]\) heißt größer als das Gewicht \([\sigma', k']\), wenn entweder \(\sigma >\sigma'\) oder \(\sigma =\sigma'\), \(k > k'\) ist. Das Gewicht der Singularität \(z'\) ist definiert als das größte unter den Gewichten der zu der Singularität gehörigen Elemente (2).
Einer Funktion \(f(z)\), die auf \(|z|=1\) von endlicher Ordnung \[ \omega=1+\varlimsup_{n\to\infty}\frac{\log|c_n|}{\log n} \] ist, wird daselbst das Gewicht \([\omega,\omega_1-1]\) mit \[ \omega_1=1+\varlimsup_{n\to\infty} \frac{\log|c_n|-(\omega-1)\log n}{\log^2n} \] zugeordnet. Diese Definition ist so beschaffen, daß, falls \(f(z)\) auf \(|z|=1\) nur Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus hat und deren größtes Gewicht \([\sigma,k]\) ist, \(\omega=\sigma\) und \(\omega_1-1 = k\) gilt. Läßt sich eine Funktion \(f(z)\) aufspalten in die Summe zweier Funktionen \[ f(z)=f_1(z)+f_2(z), \] von denen \(f_1(z)\) auf \(|z|=1\) nur Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus besitzt, deren größtes Gewicht \([\sigma, k]\) sei, während das Gewicht \([\sigma',k']\) von \(f_2(z)\) auf \(|z|=1\) kleiner als \([\sigma,k]\) ist, so bezeichnet man die Singularitäten von \(f(z)\) auf \(|z|=1\), für die \(f_1(z)\) Elemente vom Gewicht \([\sigma,k]\) aufweist, als die dominierenden Singularitäten von \(f(z)\) und die betreffenden Elemente als ihre dominierenden Elemente. Kurz sagt man, \(f(z)\) weise auf \(|z|=1\) dominierende Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus auf.
Verf. zeigt, daß für den Fall des Auftretens algebraisch-logarithmischer Singularitäten die Sätze (A\(_1\)) und (B\(_1\)) sich wie folgt präzisieren lassen:
(A) Hat \(f(z)\) in \(z = z'\) eine Singularität von algebraisch-logarithmischem Typus vom Gewicht \([\sigma, k]\), so hat \(\left(1-\dfrac z{z'}\right)f(z)\) daselbst eine Singularität vom Gewicht \([\sigma-1, k]\), falls nicht \(z'\) ein einfacher Pol ist.
(B) Hat \(f(z)\) auf \(|z|=1\) dominierende Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus, so gibt es genau ein Polynom \(L(z)\) niedrigsten Grads von der Form \[ L(z)=\left(1-\frac z{z_1}\right)\left(1-\frac z{z_2}\right)\cdots \left(1-\frac z{z_l}\right) \] derart, daß das Gewicht von \(L(z)\;f(z)\) auf \(|z|=1\) kleiner als das Gewicht \([\sigma, k]\) von \(f(z)\) ist. Die Singularitäten von \(f(z)\) vom Gewicht \([\sigma, k]\) liegen in den Punkten \(z = z_\nu\) (\(\nu= 1,2,\ldots,l\)).
Weiter werden eine Reihe von Aussagen über das asymptotische Verhalten der Koeffizienten \(c_n\) – genauer über die Koeffizienten \(c_n\) von größtem Betrag und ihrer Verteilung – bewiesen, falls \(f(z)\) auf \(|z|=1\) nur Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus (vgl. R. Jungen, a. a. O.) oder wenigstens dominierende Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus besitzt. Z. B. ergibt sich für diesen Fall, wenn \(f(z)\) auf \(|z|=1\) das Gewicht \([\sigma, k]\) hat, die Beziehung \[ \varlimsup_{n\to\infty}|c_n|/n^{\sigma-1}(\log n)^k=C>0. \]
Aus den damit gewonnenen Ergebnissen fließen neben einer Erweiterung der Hadamardschen Sätze über polare Singularitäten auf \(|z|=1\) eine ganze Reihe von Sätzen der Funktionentheorie über die Singularitäten von \(f(z)\) auf \(|z|=1\) (die von Pólya, Szegö, Mandelbrojt, Vivanti, Dienes und Fabry herrühren und von den genannten Autoren nach verschiedenen Methoden bewiesen wurden), allerdings nur in dem Falle, daß alle oder wenigstens die dominierenden Singularitäten von \(f(z)\) auf \(|z|=1\) von algebraisch-logarithmischem Typus sind, in diesem Falle aber in verschärfter Form. Um ein Beispiel zu nennen, so besagt der bekannte Satz von Vivanti, daß \(z=1\) eine singuläre Stelle von \(f(z)\) ist, falls alle Koeffizienten \(c_n\geqq 0\) (wenigstens von einem Index an) sind. Dagegen erhält Verf. den Satz: Sind alle Koeffizienten \(c_n\geqq 0\) (wenigstens von einem Index an) und sind die dominierenden Singularitäten von \(f(z)\) auf \(|z|=1\) von algebraisch-logarithmischem Typus, so liegt eine von ihnen in \(z = 1\), die übrigen (wenn solche vorhanden) liegen in Paaren konjugierter Punkte auf \(|z|=1\), einschließlich möglicherweise \(z = - 1\).

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