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Functions with dominant singularities of the generalized algebraic-logarithmic type. II: On the order of the Hadamard product. (English) JFM 63.0254.01
Es seien \(f(z)\) und \(g(z)\) die durch analytische Fortsetzung der Elemente \[ \sum^\infty a_n z^n,\quad \sum_0^\infty b_nz^n \] (deren Konvergenzradien gleich 1 seien) in die zugehörigen Hauptsterne entstehenden Funktionszweige. Ist dann \(h(z)\) der durch Fortsetzung des Elements \[ \sum_0^\infty a_nb_nz^n \] in den Hauptstern entstehende Funktionszweig, so handelt es sich um den Zusammenhang cer Singularitäten von \(h(z)\) mit denen von \(f(z)\) und \(g(z)\). Diesen Beziehungen wird in der vorliegenden Abhandlung für den Fall des Auftretens allgemeiner algebraisch-logarithmischer Singularitäten (vgl. für alle Bezeichnungen das vorstehende Referat) nachgegangen.
(1) Nach Hadamard (Acta math., Stockholm, 22 (1898), 55-64; F. d. M. 29, 210 (JFM 29.0210.*)) ist bekannt, daß sich die Ecken des Hauptsterns von \(h (z)\) unter den Punkten der Form \(\alpha\beta\), wo \(\alpha\) bzw. \(\beta\) die Ecken der Hauptsterne von \(f(z)\) bzw. \(g(z)\) durchlaufen sollen, befinden. Hier wird nun zu der Frage, unter welchen Umständen von einem Punkt \(\alpha\beta\) behauptet werden kann, daß er tatsächlich eine Singularität von \(h(z)\) ist, in Verallgemeinerung eines Satzes von Borel-Faber (E. Borel, Bull. Soc. math. France 26 (1898), 238-248; F. d. M. 29, 210 (JFM 29.0210.*); G. Faber, Jber. Deutsche Math.-Verein. 16 (1907), 285-298; F. d. M. 38, 446 (JFM 38.0446.*)) gezeigt:
\(f(z)\) und \(g(z)\) mögen je höchstens abzählbar viele Singularitäten \((\alpha_\mu)\) bzw. \((\beta_\nu)\) besitzen, die überdies isoliert liegen und die Ecken der betreffenden Hauptsterne bilden. Liegen dann in \(\alpha_\mu=\alpha_u\) und \(\beta_\nu=\beta_v\) Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus von \(f(z)\) bzw. \(g (z)\) mit den Gewichten \([\sigma_1,k_1]\) bzw. \([\sigma_2, k_2]\), so hat \(h(z)\) an der Stelle \(\alpha_u\beta_v\) eine Singularität von algebraisch-logarithmischem Typus vom Gewicht \([\sigma_1+\sigma_2-1,k_1+k_2]\) sicher dann, wenn \(\alpha_u\beta_v\) von allen übrigen Werten \(\alpha_\mu\beta_\nu\) verschieden ist.
(2) Der vorstehende Satz geht insofern über die genannte Frage hinaus, als er auch Aufschluß über den Charakter der in \(\alpha_u\beta_v\) gelegenen Singularität von \(h(z)\) gibt. Man wird so dazu geführt, allgemeiner nach dem Charakter der Singularitäten von \(h(z)\) zu fragen, wenn die Singularitäten von \(f(z)\) und \(g(z)\) bekannt sind. Betrachtet man zunächst die auf den Konvergenzkreisen gelegenen Singularitäten, so ist vor allem von Interesse, aus den Ordnungen \(\omega\), \(\omega'\) von \(f(z)\) und \(g(z)\) auf \(|z| = 1\) auf die Ordnung \(\varOmega\) von \(h(z)\) auf \(|z|=1\) zu schließen. Genauer stellt sich Verf. die Aufgabe, Bedingungen anzugeben, unter denen in der stets gültigen Beziehung \(\varOmega\leqq\omega+\omega'-1\) das Gleichheitszeichen gilt. Unter Beschränkung auf den Fall, daß \(f(z)\) und \(g(z)\) auf \(|z|=1\) nur Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus \(\alpha_\mu\) bzw. \(\beta_\nu\), oder wenigstens dominierende Singularitäten \(\alpha_\mu^*\) bzw. \(\beta_\nu^*\) von algebraisch-logarithmischem Typus aufweisen, erhält er das folgende Hauptergebnis (das wieder insofern über die gestellte Aufgabe hinausgeht, als es sogar eine Beziehung zwischen den Gewichten der betreffenden Funktionen gibt):
Sind die Gewichte von \(f(z)\) und \(g(z)\) auf \(|z|=1\) bzgl. \([\sigma_1, k_1]\) und \([\sigma_2, k_2]\), so hat \(h(z)\) auf \(|z|=1\) das Gewicht \([\sigma_1 +\sigma_2-1, k_1+k_2]\), falls unter den Produkten \(\alpha_\mu\beta_\nu\) bzw. \(\alpha_\mu^*\beta_\nu^*\) wenigstens eines von allen übrigen verschieden ist.
Darüber hinaus werden unter den genannten Voraussetzungen Aussagen über Anzahl und Lage der Singularitäten bzw. der dominierenden Singularitäten von \(h(z)\) auf \(|z|=1\) gewonnen.
(3) Der letzte Teil der Arbeit behandelt ein Koeffizientenproblem. Wie Pólya (Ann. Math., Princeton, (2) 34 (1933), 731-777; F. d. M. \(59_{\text I}\), 319) gezeigt hat, hängt die Frage, ob \(\alpha\beta\) singulärer Punkt von \(h(z)\) ist, wenn \(\alpha\), \(\beta\) Singularitäten von \(f(z)\) bzw. \(g(z)\) sind, von den Koeffizientendichten der Folgen \((a_n)\), \((b_n)\) ab. Entsprechend ergeben sich nun – für den Fall, daß \(f(z)\) und \(g(z)\) auf \(|z|=1\) dominierende Singularitäten von algebraisch-logarithmischem Typus besitzen – Zusammenhänge zwischen den Gewichten der dominierenden Singularitäten von \(h(z)\) auf \(|z|=1\) und der Verteilung sogenannter “dominierender Koeffizienten” in den Folgen \((a_n)\) und \((b_n)\).

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